Để chứng minh rằng \( A = 11^{n^2} + 12^{n+1} \) chia hết cho 133 với mọi \( n \in \mathbb{N} \), chúng ta cần chỉ ra rằng \( A \) chia hết cho cả 7 và 19 (vì \( 133 = 7 \times 19 \)).

### Chứng minh tính chia hết cho 7:
Ta sẽ xét \( A \mod 7 \).

- **Tính \( 11^{n^2} \mod 7 \)**:
\[
11 \equiv 4 \mod 7 \quad \Rightarrow \quad 11^{n^2} \equiv 4^{n^2} \mod 7
\]
Tính các lũy thừa của 4 mod 7:
\[
\begin{align*}
4^1 &\equiv 4 \mod 7 \\
4^2 &\equiv 16 \equiv 2 \mod 7 \\
4^3 &\equiv 8 \equiv 1 \mod 7 \\
\end{align*}
\]
Nhận thấy chu kỳ là 3: \( 4^1, 4^2, 4^3 \equiv 4, 2, 1 \).

Do đó:
- Nếu \( n^2 \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow A \equiv 1 \mod 7 \)
- Nếu \( n^2 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow A \equiv 4 \mod 7 \)
- Nếu \( n^2 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow A \equiv 2 \mod 7 \)

- **Tính \( 12^{n+1} \mod 7 \)**:
\[
12 \equiv 5 \mod 7 \quad \Rightarrow \quad 12^{n+1} \equiv 5^{n+1} \mod 7
\]
Tính các lũy thừa của 5 mod 7:
\[
\begin{align*}
5^1 &\equiv 5 \mod 7 \\
5^2 &\equiv 25 \equiv 4 \mod 7 \\
5^3 &\equiv 20 \equiv 6 \mod 7 \\
5^4 &\equiv 30 \equiv 2 \mod 7 \\
5^5 &\equiv 10 \equiv 3 \mod 7 \\
5^6 &\equiv 15 \equiv 1 \mod 7 \\
\end{align*}
\]
Do đó:
- Nếu \( n \equiv 0 \mod 6 \Rightarrow 12^{n+1} \equiv 5 \mod 7 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 6 \Rightarrow 12^{n+1} \equiv 4 \mod 7 \)
- ...

Cuối cùng, kiểm tra từng trường hợp và tổng hợp lại để có \( A \mod 7 \).

### Chứng minh tính chia hết cho 19:
Ta sẽ tính \( A \mod 19 \).

- **Tính \( 11^{n^2} \mod 19 \)**:
\[
11^{n^2} \text{ cũng tính theo chu kỳ của 11 mod 19}
\]

- **Tính \( 12^{n+1} \mod 19 \)**:

Cũng vậy, tính tiếp trống theo lũy thừa.

Cuối cùng, ta sẽ tổng hợp kết quả cho cả 7 và 19 rồi khẳng định rằng \( A \equiv 0 \mod 133 \).

Kết luận rằng \( A = 11^{n^2} + 12^{n+1} \) chia hết cho 133 với mọi \( n \in \mathbb{N} \).