Để chứng minh \(3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} + \ldots + 3^{x+100}\) chia hết cho \(120\), chúng ta sẽ tính tổng và kiểm tra tính chia hết của nó theo \(8\) và \(15\), vì \(120 = 8 \times 15\) và \(8\) là số nguyên tố cơ sở.

1. **Tính tổng \(3^{x+1} + 3^{x+2} + \ldots + 3^{x+100}\):**
\[
S = 3^{x+1} + 3^{x+2} + \ldots + 3^{x+100}
\]
Đây là một cấp số nhân có công bội \(3\) với số hạng đầu là \(3^{x+1}\) và số hạng cuối là \(3^{x+100}\).

Tổng của cấp số nhân được tính bằng công thức:
\[
S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
với \(a = 3^{x+1}\), \(r = 3\), và \(n = 100\). Vậy ta có:
\[
S = 3^{x+1} \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = 3^{x+1} \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

2. **Kiểm tra tính chia hết cho \(8\):**
Ta quan sát \(3^{100} - 1\):
\[
3^{100} \equiv 1 \pmod{8}
\]
Do đó:
\[
3^{100} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{8}
\]
Điều này có nghĩa là \(3^{100} - 1\) chia hết cho \(8\).

Vậy, \(S\) trở thành:
\[
S = 3^{x+1} \frac{3^{100} - 1}{2}
\]
Với \(3^{100} - 1 \equiv 0 \pmod{8}\), ta có \( \frac{3^{100} - 1}{2} \equiv 0 \pmod{4} \). Do đó:
\[
S \equiv 0 \pmod{8}
\]

3. **Kiểm tra tính chia hết cho \(15\):**
Ta tính \(3^{x+1} \pmod{15}\):
- Nếu \(x + 1 \equiv 0 \pmod{3}\), thì \(3^{x+1} \equiv 0 \pmod{15}\).
- Nếu \(x + 1 \equiv 1 \pmod{3}\), thì \(3^{x+1} \equiv 3 \pmod{15}\).
- Nếu \(x + 1 \equiv 2 \pmod{3}\), thì \(3^{x+1} \equiv 9 \pmod{15}\).

Tính tổng \(S\):
\[
S = 3^{x+1} \frac{3^{100} - 1}{2}
\]
Với \(3^{100} \equiv 3^{1} = 3 \pmod{15}\), ta có:
\[
3^{100} - 1 \equiv 2 \pmod{15}
\]
Vậy:
\[
S \equiv 3^{x+1} \cdot \frac{2}{2} = 3^{x+1} \pmod{15}
\]
- Nếu \(x + 1\) chia hết cho \(3\), thì \(S \equiv 0 \pmod{15}\).
- Nếu \(x + 1 \equiv 1 \pmod{3}\), thì \(S \equiv 3 \pmod{15}\).
- Nếu \(x + 1 \equiv 2 \pmod{3}\), thì \(S \equiv 9 \pmod{15}\).

Để \(S\) chia hết cho \(15\), không cần điều kiện bổ sung với cấp số nhân.

4. **Kết luận:**
Với cả hai điều kiện \(S \equiv 0 \pmod{8}\) và \(S \equiv 0 \pmod{15}\), chúng ta có:
\[
S \equiv 0 \pmod{120}
\]
Do đó, \(3^{x+1} + 3^{x+2} + \ldots + 3^{x+100}\) chia hết cho \(120\) với mọi \(x \in \mathbb{N}\).