Giải các bài toán sau

Dưới đây là các hướng dẫn giải cho các bài toán hình học mà bạn đã cung cấp:

### Bài 4:
- **Giải:** Để chứng minh \( AMC = 90^\circ \) và \( BMD = 90^\circ \), ta có thể sử dụng định nghĩa của góc vuông trong hình chữ nhật. Do ABCD là hình chữ nhật nên mọi góc đều bằng 90 độ.

### Bài 5:
- **Giải:** Sử dụng tính chất của tam giác vuông, ta có \( \tan \) và \( \sin \) để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh. Với \( BC = 5 \), ta có:
\[
AD = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 5^2}
\]
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC.

### Bài 6:
- **Giải:** Với \( AB < AC \), xét tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AD, BM cắt nhau tại H. Sử dụng rằng diện tích tam giác sẽ bằng nửa tích của cạnh đáy và chiều cao.

### Bài 7:
1. **CMR:** \( AM \) vuông góc với \( KM \) theo định nghĩa cấu trúc vuông góc trong tam giác vuông.
2. **Kẻ tiếp phần giác** của góc \( DCE \) để chứng minh \( CF < 2EF \) bằng cách sử dụng các mô hình toán học và các thuộc tính của tam giác.

### Bài 8:
1. **Chứng minh:** Sử dụng độ dài và tính chất của tổng các góc trong tam giác để chứng minh rằng hai tam giác \( AQR \) và \( APS \) là tương đương.
2. **QR là đường trung bình:** Sử dụng định lý đường trung bình của tam giác.

### Bài 9:
1. **AMN là điểm thuộc** cạnh AC: \( AM > MC \)
2. **Trung điểm:** Với \( M \) là điểm giao nhau của hai đường thẳng vuông góc, ta có thể tính toán bằng cách sử dụng vi phân hoặc hình học.
3. **Chứng minh:** Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông và đặc điểm của hình thái.

Mỗi câu hỏi có thể yêu cầu bạn thực hiện các bước cụ thể trong hình học như áp dụng định lý hoặc tính toán chiều dài các cạnh. Bạn có thể vẽ hình minh họa để hiểu rõ hơn về các mối quan hệ trong bài toán.