Gọi x (km) là khoảng cách từ B đến M (BM = x). Vì M nằm giữa B và C nên 0 ≤ x ≤ 7.
Khi đó, MC = BC - BM = 7 - x (km).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABM, ta có
AM = √(AB² + BM²) = √(4² + x²) = √(16 + x²) (km).
Thời gian chèo thuyền từ A đến M:
t₁ = AM / vận tốc thuyền = √(16 + x²) / 6 (giờ).
Thời gian đi xe đạp từ M đến C:
t₂ = MC / vận tốc xe đạp = (7 - x) / 10 (giờ).
Tổng thời gian di chuyển từ A đến C:
t = t₁ + t₂ = √(16 + x²) / 6 + (7 - x) / 10 (giờ).
Để thời gian di chuyển là nhanh nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
t(x) = √(16 + x²) / 6 + (7 - x) / 10 với 0 ≤ x ≤ 7.
Tính đạo hàm của t(x):
t'(x) = (1/6) * (1/2) * (16 + x²)^(-1/2) * 2x - 1/10
t'(x) = x / [6√(16 + x²)] - 1/10
Giải phương trình t'(x) = 0:
x / [6√(16 + x²)] = 1/10
10x = 6√(16 + x²)
5x = 3√(16 + x²)
25x² = 9(16 + x²)
25x² = 144 + 9x²
16x² = 144
x² = 9
x = ±3
Vì 0 ≤ x ≤ 7 nên ta chỉ nhận nghiệm x = 3.
Xét các giá trị tại biên và điểm cực trị:
t(0) = √(16 + 0²) / 6 + (7 - 0) / 10 = 4/6 + 7/10 = 2/3 + 7/10 = 41/30 ≈ 1.37 (giờ)
t(3) = √(16 + 3²) / 6 + (7 - 3) / 10 = √25 / 6 + 4 / 10 = 5/6 + 2/5 = 37/30 ≈ 1.23 (giờ)
t(7) = √(16 + 7²) / 6 + (7 - 7) / 10 = √65 / 6 ≈ 1.34 (giờ)
So sánh các giá trị t(0), t(3) và t(7), ta thấy t(3) là nhỏ nhất. Vậy, để người đó đi từ A đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ M đến B là 3 km, suy ra khoảng cách từ M đến C là 7 - 3 = 4 km.
ĐS: MC = 4 km
Tóm lại, để người đó đi từ A đến C nhanh nhất, vị trí M phải cách C một khoảng 4 km.