Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( OM \) vuông góc với đoạn thẳng \( CD \) trong trường hợp mô tả, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của đường tròn và tiếp tuyến.

**Giả định:**
- \( O \) là tâm của đường tròn bán kính \( r \).
- Đường thẳng \( d \) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \( C \) và \( D \) (có nghĩa là \( C \) và \( D \) là hai điểm tiếp xúc của đường thẳng \( d \) với đường tròn).
- \( M \) là một điểm trên đường thẳng \( d \) nằm bên ngoài đường tròn.

**Bước 1: Tìm hiểu các tính chất về tiếp tuyến.**
Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng cắt một đường tròn tại một điểm, các đoạn thẳng được vẽ từ tâm đến các điểm tiếp xúc sẽ tạo thành góc vuông với đường tiếp tuyến tại các điểm đó. Cụ thể:
- \( MC \) và \( MD \) là các tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm \( C \) và \( D \), do đó:
\[
OM \perp MC \quad (1)
\]
\[
OM \perp MD \quad (2)
\]

**Bước 2: Chứng minh góc \( OM \) vuông góc với \( CD \).**
Ta có đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M \) cắt đường tròn tại hai điểm \( C \) và \( D \). Chiếu đường thẳng \( OM \) xuống đường thẳng \( CD \). Theo nguyên lý, tam giác \( OMC \) và \( OMD \) đều có các góc vuông tại \( C \) và \( D \) vì các tiếp tuyến tại hai điểm \( C \) và \( D \) tạo với đoạn thẳng \( OM \) các góc vuông như đã nêu.

Bây giờ, do các tính chất hình học, ta có thể kết luận rằng:
- Đoạn thẳng \( OC \) vuông góc với tiếp tuyến \( MC \) tại \( C \).
- Đoạn thẳng \( OD \) vuông góc với tiếp tuyến \( MD \) tại \( D \).

Nguyên lý của góc phụ cũng cho biết rằng, vì \( M \) nằm bên ngoài đường tròn, và \( OC \) cùng \( OD \) là các đoạn thẳng nối từ tâm đến điểm tiếp xúc, vậy mà cả hai đều nhuộm vuông góc với đường thẳng \( d \) từ điểm \( M \).

**Kết luận:**
Do hai tam giác \( OMC \) và \( OMD \) đều có các đoạn thẳng từ điểm \( O \) tới các điểm tiếp xúc \( C \) và \( D \) vuông góc với đường tiếp tuyến biết \( M \) cũng như từ tính chiều đoạn thẳng \( d \), đạt yêu cầu:
\[
OM \perp CD
\]
Chứng minh thành công.