Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu a, b, c như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle AMN \sim \triangle CIN\)

1. **Xác định các điểm**:
- Ta có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), nên \(AM = MB\) và \(AN = NC\).
- Điểm \(I\) nằm trên tia đối của \(NM\) và \(NI = NM\).

2. **Xét tỉ lệ**:
- Ta có:
- \(AM = \frac{1}{2} AB\)
- \(AN = \frac{1}{2} AC\)

3. **Xét các góc**:
- Xét góc \(\angle AMN\) và \(\angle CIN\):
- Góc \(\angle AMN\) bằng với góc \(\angle CIN\) do \(NI\) là đường thẳng đối diện với \(NM\).

4. **Tỉ lệ**:
- Suy ra \(\frac{AM}{CI} = \frac{1/2 AB}{1/2 BC} = \frac{AB}{BC}\).

5. **Suy ra đồng dạng**:
- Do đó, từ tỉ lệ cạnh tương ứng và góc tương ứng, ta có:
\[
\triangle AMN \sim \triangle CIN
\]

### b) Chứng minh \(\triangle CIN \sim \triangle ABC\)

1. **Xác định các điểm**:
- Từ 1) và việc cố định điểm \(I\) như một điểm ngoài \(\triangle ABC\).

2. **Xét các tỉ lệ**:
- Ta có:
- \(CI\) tương ứng với \(AC\) trong tỉ lệ cạnh.
- Tương tự cho \(CN\) và \(AB\).

3. **Xét các góc**:
- \(\angle CIN = \angle ABC\) và \(\angle NCI = \angle ACB\).

4. **Suy ra đồng dạng**:
- Do đó:
\[
\triangle CIN \sim \triangle ABC
\]

### c) Chứng minh \(CI \cdot AC = AB \cdot CN\)

1. **Sử dụng tỉ lệ tìm được**:
- Từ kết quả ở trên, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{CI}{AC} = \frac{AB}{CN}
\]

2. **Thay đổi biểu thức**:
- Từ tỉ lệ trên, ta nhân chéo:
\[
CI \cdot CN = AC \cdot AB
\]

3. **Kết luận**:
- Điều này chứng tỏ rằng:
\[
CI \cdot AC = AB \cdot CN
\]

Vậy ba yêu cầu của bài toán đã được chứng minh xong.