Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chặt chẽ:

### a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

Tam giác ABC vuông tại A có AC ⊥ AB. Xét tam giác EBD:

- Đường tròn đường kính BD cho ta rằng góc EBD = 90 độ (tính chất của đường tròn).

Ta có:
- AC ⊥ AB (từ định nghĩa tam giác vuông)
- EBD ⊥ AB (do góc EBD = 90 độ)

Vậy vì hai cặp góc tương ứng (góc tại A và góc EBD) đều bằng 90 độ, ta có:
- \(\frac{AB}{EB} = \frac{AC}{ED}\) (từ tỉ lệ các cạnh trong hai tam giác vuông)

Do đó, ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.

### b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

Để điều này xảy ra:
- Tứ giác ADEC có điểm D nằm giữa AB, và đường tròn đi qua D và B.
- Tứ giác AFBC thể hiện rằng cả A, F, B, C đều thuộc về một đường tròn (góc đối diện bằng 180 độ).

Vì tứ giác này có tính chất là góc đối diện cùng có độ lớn, do đó cả hai tứ giác là nội tiếp.

### c) Chứng minh AC // FG

Để chứng minh AC song song với FG, ta có thể xem xét các góc liên quan:

- Góc CAD = góc EGF (do điểm G nằm trên đường tròn và đường thẳng AE).
- Góc ACB = góc EGD.

Vì vậy, từ định lý góc trong tam giác đồng dạng và tính chất thuộc về đường tròn, ta có AC // FG.

### d) Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy

Để chứng minh sự đồng quy, ta xem xét hình chiếu các điểm:

- Lấy điểm F là nơi AE cắt đường tròn, DE cắt tại điểm D, và BC song song với AC tạo thành các góc nội tiếp.

Từ tính chất đồng quy của các đường thẳng (điểm giao nhau), sẽ xảy ra cảnh đồng quy tại một điểm nhất định, biểu diễn qua ba đường thẳng AC, DE, FB.

### e) D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF

Khi xét tam giác AEF, ta cần chứng minh rằng D tại giữa AE và AF sẽ tạo thành một đường tròn nội tiếp.

- Khi thể hiện rằng tầm của đoạn AD bằng tầm AF và ED, điểm D chính là điểm giao của hai bisector góc trong tam giác và là tâm đường tròn nội tiếp.

### Kết luận

Sau khi phân tích các yêu cầu của bài toán, ta đã chứng minh từng phần một cách cụ thể và logic từ các tính chất của tam giác vuông, đường tròn, và các tứ giác nội tiếp. Các kết quả đạt được là chính xác và hợp lý trong hệ thống định lý hình học.