Cho phương trình \( x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0 \). Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \), thỏa mãn \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2 \)

Để giải bài toán này, chúng ta xét phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0\). Trước tiên, ta cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

**Bước 1: Điều kiện có hai nghiệm phân biệt**

Phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Áp dụng vào phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m = 0\):
- \(a = 1\)
- \(b = -2(m+1)\)
- \(c = 2m\)

Ta có:
\[
\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 4(m+1)^2 - 8m
\]
Đơn giản hóa:
\[
\Delta = 4(m^2 + 2m + 1 - 2m) = 4(m^2 + 1)
\]
Điều này luôn dương vì \(m^2 + 1 > 0\) cho mọi \(m\). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

**Bước 2: Điều kiện \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2 \)**

Đặt \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Theo định lý Viète:
\[
x_1 + x_2 = 2(m+1) \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = 2m
\]
Ta cần thỏa mãn điều kiện:
\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2
\]
Bình phương hai vế, ta có:
\[
(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 4 \Rightarrow x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 x_2} = 4
\]
Thay \(x_1 + x_2\) và \(x_1 x_2\) vào phương trình trên:
\[
2(m+1) + 2\sqrt{2m} = 4
\]
Rút gọn:
\[
2(m+1 + \sqrt{2m}) = 4 \Rightarrow m + 1 + \sqrt{2m} = 2
\]
\[
m + \sqrt{2m} = 1
\]
Đặt \(y = \sqrt{m}\), ta có:
\[
y^2 + \sqrt{2}y - 1 = 0
\]

**Bước 3: Giải phương trình bậc hai**

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2 + 4 = 6
\]
Nghiệm là:
\[
y = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}
\]
Ta nhận được 2 nghiệm cho \(y\):
1. \(y_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\)
2. \(y_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}\) (không hợp lệ vì \(y\) không âm)

Tính \(m\) từ nghiệm hợp lệ:
\[
m = y^2 = \left(\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)^2
\]
Tính giá trị này:
\[
= \frac{(6 - 2 + 2\sqrt{12})}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{12}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{12}}{2}
\]
Cuối cùng:
\[
m = 1 + \sqrt{3}
\]

Vậy giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đã cho là:
\[
\boxed{1 + \sqrt{3}}
\]