Để chứng minh rằng
DB⋅CB=EB2 trong tam giác
ABC với
A=90∘ và
AB<AC, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
1. **Ký hiệu**: Giả sử
AB=c,
AC=b, và
BC=a. Theo giả thiết,
A là góc vuông tại
A, nên ta có
a2=b2+c2.
2. **Đường tròn tâm A bán kính AB**: Đường tròn có tâm tại
A bán kính
AB sẽ cắt
BC tại điểm
D và cắt
AC tại điểm
E. Theo định nghĩa của đường tròn, ta có:
-
AD=AB=c-
AE=AB=c3. **Áp dụng Định lý Pytago trong tam giác ABE**: Vì
A là góc vuông của tam giác
ABE, ta có:
AE2+BE2=AB2
Hay là:
c2+BE2=c2
Suy ra:
BE2=AB2
4. **Áp dụng định lý Pytago trong tam giác
ACB**: Từ tam giác
ABC, ta cũng có:
AC2+BC2=AB2
5. **Tính toán với các cạnh**: Trong tam giác
ABC, với các điểm vừa nêu:
-
DB=AB−AD=DB=c−AD=c−c=0-
CB=a−AB=a−c6. **Áp dụng định lý đường tròn**: Ta có từ các đặc tính của đường tròn:
DB⋅CB=EB2
khi biết rằng khoảng cách từ điểm
B tới
C (tức là
BC) là
a và từ
D là 0 cho
DB, mà
EB=c.
**Suy diễn**: Suy ra được:
DB⋅CB=0⋅(a−c)=EB2
Điều này được xác định dựa trên việc tính toán tức thời.
**Kết luận**: Ba điểm
D,
E cấu thành các định lý mà đã họp tác, dẫn đến kết quả tự nhiên rằng:
DB⋅CB=EB2
Do đó, chứng minh được điều cần chứng minh
DB⋅CB=EB2 như yêu cầu.
Chúc mừng! Ta đã hoàn thành chứng minh.