Chứng minh:
MN ⊥ AB:
- Xét tứ giác AMHN, ta có:
- Góc AMH = góc ANH = 90 độ (vì M, N là hình chiếu của H trên AB, AC)
- Góc MAN = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A)
- Vậy tứ giác AMHN là hình chữ nhật (hình có 3 góc vuông).
- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Suy ra MN ⊥ AH.
- Mà AH ≡ AB (do AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A)
- Vậy MN ⊥ AB.
BM ⊥ AN:
- Xét tam giác ABH vuông tại H, có HM là đường cao.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AM.AB = AH² (1)
- Tương tự, trong tam giác ACH vuông tại H, có HN là đường cao.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AN.AC = AH² (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: AM.AB = AN.AC
- Chia cả hai vế cho AB.AC, ta được: AM/AC = AN/AB
- Xét tam giác AMN và tam giác ACB, ta có:
- AM/AC = AN/AB (cmt)
- Góc MAN = góc BAC = 90 độ
- Vậy ΔAMN ~ ΔACB (c.g.c).
- Do đó, góc AMN = góc ACB.
- Mà góc ACB + góc ABC = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A)
- Nên góc AMN + góc ABC = 90 độ.
- Vậy BM ⊥ AN.
Kết luận:
Từ các chứng minh trên, ta có MN ⊥ AB và BM ⊥ AN.
ĐPCM.