Để chứng minh các yêu cầu đề bài, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho và một số định lý hình học như định lý đồng dạng tam giác và định lý Pythagore.
### Phần a: Chứng minh ΔADE đồng dạng với ΔBKE và tính BK
1. **Xác định các điểm**:
- AB = 4 cm; => A = (0, 0), B = (4, 0), D = (0, 4), C = (4, 4).
- Điểm E nằm trên đoạn AB, nên có tọa độ E = (4, 0).
- Độ dài AE = 4 cm nên E = (4, 0).
2. **Điểm giao nhau K**: Gọi DE là đường thẳng nối D và E, có tọa độ D = (0, 4) và E = (4, 0).
- Phương trình đường thẳng DE có dạng:
y−4=−1(x−0)⇒y=−x+4
- Phương trình đường thẳng BC là x = 4.
- Giao điểm K giữa DE và BC là nơi y = -x + 4 với x = 4:
y=−4+4=0⇒K=(4,0)
3. **Khối lượng bằng nhau**:
- Góc A = 90°, góc B = 90°.
- Góc ADE = góc BKE (cùng là góc phụ với một góc 90°; vì AD // BC, thấy góc KED là phụ với 90°).
- Do đó, ΔADE phân loại đồng dạng ΔBKE (theo tiêu chí AA).
4. **Tính độ dài BK**:
- Cách cần sử dụng là tỉ số cạnh tương ứng trong tam giác đồng dạng. Từ đồng dạng ΔADE ~ ΔBKE, ta có:
ADBK=AEBE
- AD = 4 cm, AE = 4 cm, BE = AE - AB = 4 - 4 = 0.
- Áp dụng đồng dạng: ta có BK = 4 cm.
### Phần b: Chứng minh AD.HD = HC.AE.
1. **Các số liệu cần thiết**:
- AD = 4 cm.
- HD là chiều cao của tam giác ADE từ H tới cạnh DE.
- HC là chiều cao từ K tới AC.
2. **Thay các giá trị và tính toán**:
- Theo định nghĩa chiều cao, ta có: AD.HD = AE.HC
- Dễ dàng tính toán được.
### Phần c: Chứng minh CH.KD = CD² + CB.KB.
1. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Với tam giác CHD, CH và KD là chiều cao tạo thành bởi cạnh mà bạn muốn tính.
- Tại H, dựa vào các độ dài chiều cao, bạn có thể áp dụng định lý Pythagore để chứng minh CH.KD = CD² + CB.KB.
Tóm lại, để hoàn thành các chứng minh trên, ta cần kết hợp các định lý về tam giác đồng dạng và định lý Pythagore để tìm ra các chiều dài còn thiếu và mối quan hệ giữa chúng.