Cho (O;R) và điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ một đường thẳng d vuông góc với OH. Từ điểm M nằm trên đường thẳng d,kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt làgiao điểm của AB với OM, OH

Để chứng minh rằng bốn điểm $M, H, O, A$ cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về các dây cung và góc nội tiếp.

### a) Chứng minh 4 điểm M, H, O, A cùng thuộc một đường tròn

Xét tam giác $OHM$:

- Gọi $r$ là bán kính của đường tròn $(O)$ với trung điểm $O$.
- Tiếp tuyến $MA$ tại $A$ vuông góc với $OA$ suy ra rằng $\angle OAH = 90^\circ$.

Bây giờ, ta có:

- $\angle MHA = \angle OAH = 90^\circ$.

Từ đây, ta có thể thấy rằng đường tròn có đường kính $MH$ sẽ đi qua điểm $A$ vì chúng ta có một góc vuông tại $A$. Từ lý thuyết về đường kính của đường tròn, ta suy ra rằng điểm $M, H, O, A$ cùng thuộc một đường tròn.

### b) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

Xét tam giác $MPQ$:

1. **Diện tích của tam giác**: Diện tích của tam giác $MPQ$ được tính bằng công thức:
$$S = \frac{1}{2} \cdot MQ \cdot MP \cdot \sin(\angle PQM)$$

2. **Tối thiểu hóa diện tích**: Để tìm vị trí điểm $M$ nhỏ nhất, ta cần xem xét góc $\angle PQM$. Góc này sẽ được tối thiểu khi $M$ nằm trên đường tròn xác định bởi bốn điểm $M, H, O, A$, vì ở đó $MP$ và $MQ$ sẽ giao nhau đặc trưng cho một cấu hình tối ưu.

3. **Nghiên cứu hình học**: Nếu ta vẽ đường tròn đi qua $H$ và $O$, khi $M$ nằm trên đường tròn này, thì vị trí của $M$ sẽ là tối thiểu cho diện tích tam giác $MPQ$ nhờ vào tính chất giao điểm và góc giữa các cạnh của tam giác.

Có thể thiếp lập mối quan hệ toán học từ các chiều dài và góc để chứng minh. Tuy nhiên, trường hợp lý thuyết hình học cho thấy việc lựa chọn $M$ trên đường tròn $OHM$ là phù hợp.

Khi $M$ di chuyển trên đường thẳng $d$ thỏa mãn các điều kiện về góc vuông, ta rút ra được rằng:

- Việc di chuyển $M$ tới các vị trí khác lên $d$ sẽ chỉ làm tăng diện tích $MPQ$ do gia tăng cạnh tại các điểm này.

### Kết luận
Điểm $M$ cần được đặt trên đường tròn đi qua $H$, $O$, $A$ để diện tích tam giác $MPQ$ đạt giá trị nhỏ nhất.