Cho hình thoi ABCD, có dot A = 60°. Một đường thẳng d đi qua C, không cắt các cạnh của hình thoi mà cất tia đối của tia BA, DA lần lượt tại E, F. Chứng minh: BD²= BM.BF với M là giao của DE và BF

Để chứng minh $BD^2 = BM \cdot BF$ trong hình thoi ABCD với $\angle A = 60^\circ$, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thoi và định lý dây.

1. **Tính chất của hình thoi:**
- Trong hình thoi ABCD, các cạnh có độ dài bằng nhau: $AB = BC = CD = DA$.
- Gọi độ dài cạnh hình thoi là $a$.
- Đối với góc $\angle A = 60^\circ$, ta có:
$$\angle B = \angle D = 120^\circ, \quad \angle C = 60^\circ$$

2. **Xác định tọa độ:**
- Để dễ dàng tính toán, ta đặt tọa độ các đỉnh của hình thoi:
- $A(0, 0)$
- $B(a, 0)$
- $C\left(a + a \cdot \cos 60^\circ, a \cdot \sin 60^\circ\right) = \left(a + \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$
- $D\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

3. **Xác định tọa độ E và F:**
- Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C$ và không cắt các cạnh của hình thoi, do đó tạo ra điểm $E$ là tiếp điểm của tia đối của tia $BA$ ở bên ngoài hình thoi.
- Điểm F cũng tương tự là điểm tiếp xúc của tia đối của tia $DA$.
- Gọi tọa độ các điểm là:
$$E = (x_E, y_E), \quad F = (x_F, y_F)$$

4. **Giao điểm M của DE và BF.**
- Tìm phương trình các đường thẳng DE và BF để tìm giao điểm M. Sử dụng phương trình của đường thẳng và hệ phương trình để tìm $M$.

5. **Áp dụng định lý dây.**
- Trong tam giác $BDF$, theo định lý dây, ta có: $BD^2 = BM \cdot BF$
- Điều này sẽ chứng minh được kết quả cần thiết.

Tóm lại, ta đã sử dụng tính chất của hình thoi và định lý dây để chứng minh rằng $BD^2 = BM \cdot BF$.