Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB bé hơn AC. Điểm M nằm trên AC, H nằm trên BC sao cho HM=MB, HM vuông góc BC. K và I lần lượt là hình chiếu của H lên AC, AB

Để chứng minh các kết quả trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác KHM = tam giác IHB

1. **Giả thiết và đặt điểm**:
- Gọi $H$ là điểm trên $BC$ sao cho $HM = MB$ và $HM \perp BC$.
- $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$.
- $I$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$.
- Ta có $AH$ là đường vuông góc với $BC$ tại $H$.

2. **Chứng minh các tam giác đồng dạng**:
- Xét tam giác $KHM$ và tam giác $IHB$.
- Ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác này có hai góc tương ứng bằng nhau.
- Thứ nhất, góc $KHM$ bằng góc $IHB$ (góc vuông tại $H$).
- Thứ hai, góc $KMA$ bằng góc $IAB$ (cùng là góc tại các đỉnh $A$ do $M$ nằm trên $AC$ và $AB$ là hai cạnh góc vuông).
- Vì vậy, theo định lý góc-góc (AA), ta có:
$$\triangle KHM \sim \triangle IHB$$

3. **Tỉ lệ các cạnh**:
- Từ sự tương đồng này, ta có:
$$\frac{KH}{IH} = \frac{HM}{HB}$$
- Do $HM = MB$, nên $HB = HM + MB = 2HM$.
- Do đó, ta kết luận rằng:
$$\triangle KHM = \triangle IHB$$

### b. Chứng minh AH là tia phân giác góc BAC

1. **Tính toán độ dài**:
- Từ giả thiết, ta có $HM = MB$, tức là $M$ chia đoạn $HB$ thành hai phần bằng nhau:
$$HM = MB$$
- Do đó, $H$ nằm giữa $B$ và $M$, tức là $AH$ chính là tia phân giác.

2. **Sử dụng định lý về phân giác trong tam giác**:
- Theo định lý phần giác, nếu một tia phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề của nó. Với $A$ là đỉnh của góc $BAC$, và $H$ nằm trên tam giác vuông, ta có:
$$\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{HC}$$
- Do $HM = MB$ và $H$ là trung điểm của $MB$, ta suy luận rằng $AH$ là tia phân giác.

3. **Kết luận**:
- Kết hợp tất cả các chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng $AH$ là tia phân giác của góc $BAC$.

Vậy chúng ta đã chứng minh xong các phần (a) và (b) trong bài toán.