Dưới đây là hướng chứng minh từng phần của hai bài toán:

Ta cần chứng minh rằng tứ giác AHKMAHKM có tổng hai góc đối bằng 180∘180^\circ.

• Ta có MN⊥ABMN \perp AB nên MNMN là đường kính của đường tròn đường kính ABAB.

• KK là giao điểm của BMBM và NANA, nên KH⊥ABKH \perp AB.

• Xét góc ∠AHK+∠AMK\angle AHK + \angle AMK:

  • ∠AHK=90∘\angle AHK = 90^\circ (do HH là chân đường vuông góc từ KK đến ABAB).

  • ∠AMK=90∘\angle AMK = 90^\circ (do MN⊥ABMN \perp AB).

Do đó:

Suy ra AHKMAHKM là tứ giác nội tiếp.

Ta cần chứng minh HMHM vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

• HH là chân đường vuông góc từ KK xuống ABAB, nên KH⊥ABKH \perp AB.

• MM thuộc đường tròn nên OMOM là bán kính của đường tròn.

• Do HMHM là đường vuông góc với bán kính OMOM tại MM, suy ra HMHM là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O).

• Chứng minh MOABMOAB nội tiếp:

  • MAMA và MBMB là tiếp tuyến của đường tròn tại AA và BB, nên ∠OMA=∠OMB=90∘\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ.

  • Do đó, tứ giác MOABMOAB có tổng hai góc đối 90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ, suy ra MOABMOAB nội tiếp.

• Chứng minh ABOEABOE nội tiếp:

  • Ta cần chứng minh ∠ABE+∠AOE=180∘\angle ABE + \angle AOE = 180^\circ.

  • OO là tâm đường tròn và A,BA, B là các tiếp điểm, nên ∠AOB=180∘\angle AOB = 180^\circ.

  • EE là trung điểm của DCDC, và DCDC là tiếp tuyến nên A,B,O,EA, B, O, E cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó, ABOEABOE nội tiếp.

• Vì MAMA là tiếp tuyến của đường tròn, ta có MA2=MB2MA^2 = MB^2.

• Theo định lý đường tròn và tiếp tuyến:

  MC⋅MD=MA2MC \cdot MD = MA^2

• Từ hệ thức đường tròn, ta cũng suy ra MHC=MD2MHC = MD^2.

• Từ định lý Ptolemy mở rộng, ta có:

  OH⋅OM+MC⋅MD=MO2OH \cdot OM + MC \cdot MD = MO^2

  Điều này đúng theo tính chất của đường tròn và các tiếp tuyến.