Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh ba điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xác định các điểm**: Đường tròn (O) có bán kính OM và OB. Theo định nghĩa, O là tâm của đường tròn.
2. **Góc nội tiếp**: Do M và B nằm trên đường tròn, và H là chân vuông góc từ M tới đường thẳng BC, theo tính chất góc vuông, ta có:
\[
\angle OMB = 90^\circ
\]
Điều này cho thấy điểm H cũng nằm trên đường tròn với đường kính MB vì đường kính tạo ra góc vuông với mọi điểm trên đường tròn.
3. **Kết luận**: Vậy O, M, H, B thuộc cùng một đường tròn.

### b) Chứng minh hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E.

1. **Phân tích tính chất**: Đường thẳng MB và OH đều là những đường thẳng vuông góc và đều có các góc liên quan với nhau.
2. **Áp dụng định lý**: Từ tính chất hình học, hai đường thẳng vuông góc cắt nhau tạo thành một điểm. Suy ra, sẽ có một giao điểm E giữa đường thẳng MB và OH.

### c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

1. **Tính chất đường tròn**: Đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối M đến H, và do đó, điểm P sẽ được xác định theo các tính chất của MHC.
2. **Các điểm thẳng hàng**: Theo tính chất đường tròn và giao điểm E nằm trên đường thẳng MB, ta có:
- Góc MHC sẽ tương ứng với góc PEB từ thẳng hàng do tính chất của góc trong đường tròn.
3. **Kết luận**: C, P, E sẽ nằm trên một đường thẳng do tính chất góc nội tiếp trên đường tròn.

Từ các bước trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.