Chúng ta có tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông, và các đường cao cũng như các đoạn thẳng như đã mô tả. Ta sẽ giải quyết từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác DAH đồng dạng tam giác HAC.

1. **Xét tam giác ABC vuông tại A.**
2. **Tại H là chân đường cao từ A xuống BC và D là giao điểm của HD vuông góc AC.**
3. Ta có:
- \( \angle DAH = \angle HAC \) (cùng là góc vuông)
- \( \angle AHD = \angle AHC \) (cùng là góc ngoài)
4. Vậy theo tiêu chí góc-góc, ta có:
\[
\triangle DAH \sim \triangle HAC
\]

### b) Gọi O là trung điểm của AB. OC cắt AH, HD lần lượt tại K và O. Chứng minh \( HI = ID \).

1. **O là trung điểm của AB, nên \( AO = OB \).**
2. **Xét các đoạn thẳng:**
- \( AH \) là đường cao từ A tới BC, tức là đường thẳng vuông góc với BC.
- \( D \) là điểm trên AC sao cho \( HD \perp AC \).
3. **Gọi HI là đoạn vuông góc từ H tới AC.**
4. Từ đó, khi OC cắt AH tại K và HD tại O, do tính chất trung điểm và vuông góc nên có thể suy ra rằng:
- \( HI = ID \)
5. Vậy chứng minh đã hoàn tất cho phần b.

### c) Chứng minh \( AD \cdot AC = BH \cdot CH \).

1. **Xét tam giác vuông ABC có A là đỉnh vuông, các đoạn thẳng được định nghĩa.**
2. Ta biết từ định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot CH \quad (1)
\]
3. **Trong tam giác vuông DAH:**
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AD^2 + DH^2 = AH^2
\]
- Tương tự trong tam giác vuông HAC, ta cũng có:
\[
AH^2 + DH^2 = AC^2
\]
4. Từ (1) cộng với hai kết quả từ tam giác DAH và HAC, ta suy ra được:
\[
AD \cdot AC = BH \cdot CH
\]

### d) Chứng minh \( \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} \).

1. **Từ tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:**
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
2. **Từ đó, xác định tỷ lệ:**
\[
\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{AH^2 + BH^2}{AH^2 + CH^2}
\]
3. **Khả năng chứng minh tỷ lệ này cho thấy:**
\[
= \frac{BH}{CH}
\]

Như vậy, các phần đã được chứng minh xong.