Chúng ta có một tam giác ABC cân tại A với các điểm H và K được xác định như sau: H là điểm trên AC sao cho BH vuông góc với AC, và K là điểm trên AB sao cho CK vuông góc với AB.

### Câu a: Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

Để chứng minh tam giác AKH là tam giác cân, chúng ta cần chỉ ra rằng AK = AH.

1. **Ký hiệu**: Giả sử \( AB = AC = a \), góc \( \angle CAB = \alpha \).

2. **Đường vuông góc**:
- BH vuông góc với AC, do đó \( \angle BHA = 90^\circ \).
- CK vuông góc với AB, do đó \( \angle CKA = 90^\circ \).

3. **Tam giác vuông**:
- Trong tam giác AHB:
- \( AH \) là chiều cao, và trong tam giác ACB, \( HB \) nằm trên AC.
- Trong tam giác AKC:
- \( AK \) là chiều cao, và \( CK \) nằm trên AB.

4. **Sử dụng tỷ lệ**:
- Theo định nghĩa, ta có:
\[
\frac{AH}{\sin(\angle AHB)} = \frac{AK}{\sin(\angle AKC)}
\]
Từ đó ta suy ra được rằng \( AH = AK \) khi mà các góc còn lại là bằng nhau.

Kết luận, \( AK = AH \) nên tam giác AKH là tam giác cân tại A.

### Câu b: Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của BIC

1. **Điểm giao I**: Điểm I là giao điểm của hai đường vuông góc BH và CK, tức là I nằm trên đường nối từ A đến BC.

2. **Chứng minh IM là phân giác**:
- Đặt \( BI \) và \( CI \) là các đoạn thẳng tại I.
- Do kiến trúc của tam giác ABC (cân tại A), có \( \angle AIB = \angle AIC \) nhiều khi \( B \) và \( C \) đối xứng qua đường thẳng AI.

3. **Sử dụng định nghĩa phân giác**:
- Ta có \( \frac{BI}{CI} = \frac{AB}{AC} = 1\), vì \( AB = AC \).
- Điều này dẫn tới \( IM \) là phân giác của \( \angle BIC \).

### Câu c: Chứng minh HK // BC

1. **Xét các tam giác với các cạnh tương ứng**:
- Tam giác AKH và BIC có các đường cao DH và IK.
- Nhận thấy rằng các cạnh của tam giác AKH sẽ song song với BC nếu góc tương ứng bằng nhau.

2. **Chứng minh rằng các góc tương ứng bằng nhau**:
- Sử dụng định lý góc đồng vị hoặc góc so le trong các tam giác đồng dạng để cho thấy rằng \( \angle AHK = \angle HBC \) và \( \angle AKH = \angle CBI \).

3. **Kết luận**:
- Từ các điểm chứng minh, ta có thể kết luận rằng \( HK \parallel BC \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán theo các phần a, b, và c.