Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACD

Trong tam giác ABC cân tại A:

- Ta có \(AB = AC\) (định nghĩa tam giác cân).
- AD là tia phân giác của góc A, nên có \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1\) (vì \(AB = AC\)).
- Do đó, \(BD = DC\).

Vì vậy, trong tam giác ABD và tam giác ACD, ta có:

1. \(AB = AC\)
2. \(AD = AD\) (cạnh chung)
3. \(BD = DC\)

Suy ra theo tiêu chí \(SAS\) (Cạnh, Cạnh, Cạnh), chúng ta có:

\[
\Delta ABD \cong \Delta ACD
\]

### b) Kẻ H vuông góc với DC sao cho H là trung điểm của BC chứng minh tam giác DEC cân

Yêu cầu kẻ \(H\) vuông góc với \(DC\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(BC\). Do đó, chúng ta có:

- \(BH = HC\).
- \(BD = DC\) (từ phần (a)).

Vì \(H\) là trung điểm, và kết hợp với \(BD = DC\) ta có:

\[
DE = DE \quad (\text{cạnh chung})
\]

Và do \(H\) là trung điểm của \(BC\):

1. \(BH = HC\).
2. \(BD = DC\).

Vậy từ đó ta rút ra được:

Tam giác \(DEC\) có \(DE = DE\) (cạnh chung), \(DC = DB\) (từ (a)) và \(BH = HC\).

Vì vậy, chúng ta suy ra rằng tam giác \(DEC\) cân tại \(E\).

### c) Từ b nối BE, chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

Vì \(H\) là trung điểm của \(BC\), nên chúng ta có:

- \(G\) là giao điểm của \(BE\) với \(AC\).
- \(H\) là trung điểm của \(BC\), nên ta có thể nói rằng:

Khi kéo dài tia \(BE\) cắt \(AC\) tại \(G\), theo định nghĩa của trọng tâm trong tam giác, trọng tâm là điểm mà nó chia mỗi đoạn nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện thành tỷ lệ \(2: 1\).

Vì \(H\) là trung điểm, và \(G\) là giao điểm nên:

- \(AG : GC = 2: 1\).

Vậy, \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Tóm lại, các phần a, b và c đã được chứng minh theo yêu cầu.