Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC cân tại A và trung tuyến AD với các điểm M, F, K, G, I theo yêu cầu trong bài, ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### a. Chứng minh tam giác ADC = tam giác MDB và BM // AC

1. **Tam giác ADC = tam giác MDB**:
- Trong tam giác ABC cân tại A, ta có AD là trung tuyến, và M là điểm trên tia đối của DA sao cho DA = DM. Từ đó, ta có:
- AD = DM (giả thiết)
- AC = MB (vì tam giác ABC cân)
- Độ dài: DA = DM; AC = MB
- Do đó, ta có:
\[
\triangle ADC \cong \triangle MDB \ (\text{cạnh-cạnh-cạnh})
\]

2. **Chứng minh BM // AC**:
- Vì AD là trung tuyến và M được chọn sao cho DA = DM, ta cũng có thể kết luận rằng BM // AC bằng định lý về đường trung bình trong tam giác.

### b. Chứng minh d là trung điểm của KF

1. **Gọi F là trung điểm của AC**:
- Xét F là trung điểm của AC, tức là AF = FC.

2. **Tia FD cắt MB tại K**:
- Vì F là trung điểm của AC, nên đoạn thẳng KF qua F sẽ chia đoạn KF thành hai phần bằng nhau.

Giả sử M là điểm ngoài và F là trung điểm, do đó:
- Đoạn KF chia thành KF = FK và F là trung điểm, nên d là trung điểm của KF.

### c. Chứng minh F, G, I thẳng hàng

1. **G là giao điểm của đường trung tuyến CE với AD**:
- Ta có G nằm trên AD, bởi vì CE là đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. **Tính chất của các điểm**:
- Để chứng minh F, G, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tỉ lệ đoạn thẳng là đồng dạng.
- Chúng ta biết rằng F và G là điểm trung bình và I được xác định ở giữa các điểm K và A.

3. **Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACG với đường thẳng FGI**.

Kết luận:
- Với các tính chất đồng dạng và tỉ lệ trong các tam giác, cùng với đường thẳng và trung điểm, chúng ta có thể chứng minh được rằng F, G, I sẽ nằm trên một đường thẳng.

Với những mối quan hệ trong tam giác và vị trí của các điểm, các bạn có thể vẽ hình minh họa để làm rõ các mối quan hệ đã chứng minh ở trên.