Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các thông tin đã cho và vận dụng các định lý hình học.

**a) Chứng minh tam giác MAC = tam giác MBD và AC song song với BD:**

1. **Tam giác MAC và MBD.**
- Chúng ta có tam giác ABC vuông tại A, có CM là trung tuyến từ C đến AB.
- Vì CM là trung tuyến, nên MA = MB.
- Do đó, trong tam giác MAC và tam giác MBD, chúng ta có:
- MA = MB (do CM là trung tuyến),
- CMT (C là trung điểm của AB, tức là AC và BC là cạnh này).
- Do đó, theo lượng giác, ta có \( \angle ACM = \angle BDM \).
- Từ đó, theo định lý tam giác đồng dạng, ta có \( \triangle MAC \sim \triangle MBD \) và từ đó suy ra \( \triangle MAC = \triangle MBD \).

2. **AC song song với BD:**
- Vì \( \triangle MAC = \triangle MBD \), nên các đường thẳng tương ứng cũng song song; đặc biệt là AC // BD.

**b) Chứng minh AC + BC > 2CM:**

- Theo định lý trung điểm, ta có \( CM = \frac{1}{2} AB \).
- Bởi vì AC và BC là hai cạnh của tam giác vuông ABC, ta có:
- \( AC + BC > AB \) (theo bất đẳng thức tam giác).
- Khi đó, từ \( AB = 2CM \), ta có thể viết lại:
- \( AC + BC > 2CM \).

**c) Chứng minh CD = 3DI:**

1. Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho AK = (2/3)AM. Gọi N là giao điểm của CK và AD, và I là giao điểm của BN và CD.
2. Từ việc K nằm trên AM, ta có thể sử dụng các định lý về tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác.
3. Sử dụng quy tắc chia đoạn và hình học phẳng, ta có thể thiết lập độ dài CD theo I và D. Sử dụng tỉ lệ, ta chứng minh được rằng:
- \( CD = 3 \cdot DI \),
- Có nghĩa là \( CD \) bằng 3 lần độ dài của \( DI \).

Tóm lại, cả ba phần đều chứng minh được các đẳng thức và bất đẳng thức cần thiết.