Chúng ta bắt đầu giải bài toán từng phần một.

### a. Tính BC, AH, BH

Trong tam giác vuông ABC với AB = 6 cm, AC = 8 cm, chúng ta sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh huyền BC.

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính đường cao AH. Đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC được tính theo công thức:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Để tính BH, chúng ta cần sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác.

Từ tam giác HBA vuông tại H, ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BC} \Rightarrow \frac{4.8}{6} = \frac{BH}{10}
\]

Giải phương trình này:

\[
BH = \frac{4.8}{6} \cdot 10 = 8 \text{ cm}
\]

Chúng ta đã tính được:
- \( BC = 10 \text{ cm} \)
- \( AH = 4.8 \text{ cm} \)
- \( BH = 8 \text{ cm} \)

### b. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA, tính AH, BH

Từ trước, chúng ta đã có hai tam giác: tam giác ABC vuông tại A và tam giác HBA vuông tại H.

- Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm.
- Tam giác HBA vuông tại H, có cạnh huyền là AB và cạnh vuông góc là BH.

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta xem xét tỉ lệ các cạnh.

Tỉ số giữa các cạnh:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{4.8}{6} = \frac{4.8}{6} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}
\]
Do đó, chúng ta có:

- \( \angle A = \angle H \) (cùng là góc vuông)
- \( \frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BC} \)

Từ đó, suy ra hai tam giác ABC và HBA đồng dạng (theo tiêu chí góc-góc).

Chúng ta đã biết:
- \( AH = 4.8 \text{ cm} \)
- \( BH = 8 \text{ cm} \)

### c. Chứng minh góc AIB = góc HKB và AI² = IC * KH

Gọi I là giao điểm của đường phân giác của góc ABC với AC. Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

Điều này cho thấy:

\[
5AI = 3IC \implies IC = \frac{5}{3}AI
\]

Ta cần chứng minh góc AIB = góc HKB.

- Do \( \triangle AIB \) và \( \triangle HKB \) có chung một góc AIB và tỉ lệ giữa các cạnh thỏa mãn tính chất đồng dạng, ta kết luận \( \angle AIB = \angle HKB \).

Để chứng minh \( AI^2 = IC * KH \), chúng ta có:

Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
AI^2 = IC \cdot KH
\]

Kết luận:
- Góc \( AIB = HKB \)
- \( AI^2 = IC \cdot KH \)

Hy vọng đáp án này hữu ích cho bạn!