Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và định lý liên quan đến đường phân giác và đường trung tuyến.

### a) Chứng minh: tam giác \( ABO \cong ACO \) và \( BO = CO \)

1. **Xét tam giác \( ABC \) đều và cân tại \( A \)**: Điều này cho chúng ta thấy \( AB = AC \).
2. **Ad là đường phân giác của \( \angle BAC \)**: Theo định nghĩa của phân giác, \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \) và \( AD\) chia \( \angle BAC \) thành 2 góc bằng nhau.
3. **Cả hai tam giác \( ABO \) và \( ACO \) có chung cạnh \( AO \)** và góc \( \angle AOB = \angle AOC \) (vì \( AD \) là đường phân giác), do đó họ có:
- Cạnh \( AO = AO \) (cạnh chung)
- \( AB = AC \) (cạnh tương ứng)
- \( \angle AOB = \angle AOC \)
4. **Kết luận** từ điều kiện trên, theo Postulate Side-Angle-Side (SAS), ta có \( \triangle ABO \cong \triangle ACO \).
5. **Từ các tam giác đồng dạng này, ta suy ra:** từ ứng dụng của việc đồng nhất cạnh tương ứng, chúng ta có \( BO = CO \).

### b) Chứng minh: \( CE \parallel AD \)

1. **Xét điểm \( E \) trên tia đối của \( MB \)** sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn $OE$.
2. **Xét tam giác \( ABO \cong ACO \)** (như đã chứng minh ở phần a), ta biết \( BO = CO \).
3. **Từ \( M \) là trung điểm của đoạn \( OE \)**, ta có \( ME = BO \).
4. **Điều này ngụ ý rằng \( \frac{OE}{OM} = 2 \)** từ tính chất trung điểm của \( M \).
5. **Do \( CE \) nối điểm đi ra khỏi \( C \) và điểm \( E \)** trên tia đối của \( MB\), các đoạn thẳng này sẽ song song với đường phân giác \( AD \) do sự đối xứng và tính chất của các trung điểm.
6. **Theo định lý Thales:** Nếu một đường thẳng (đường \( CE \)) cắt các cạnh \( AC \) và \( AB \) (cùng cách của phân giác) thì đường thẳng này sẽ song song với đường thẳng \( AD \).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được \( \triangle ABO \cong \triangle ACO \) và \( BO = CO \) tại phần a.
- Ta cũng đã chứng minh được \( CE \parallel AD \) tại phần b.

Từ những bước giải thích và chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành yêu cầu trong bài toán.