Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình có các điểm và đoạn thẳng như đã mô tả.

### Vẽ Hình
1. Tạo một tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông (góc A = 90 độ).
2. Chọn điểm M nằm giữa A và C.
3. Kẻ một đường thẳng MK vuông góc với BC tại điểm K.

### a) Chứng minh: CK.CB = CM.CA

- **Gọi các đoạn:**
- \( CA = b \)
- \( AB = a \)
- \( CB = \sqrt{a^2 + b^2} \) (theo định lý Pythagore)

- **Xét tam giác vuông AMC:**
- Trong tam giác AMC, có \( CM \) là đoạn thẳng nối M và C. Đoạn AB và CK là các đoạn thẳng vuông góc tại K.

- **Áp dụng Định lý sin trong tam giác vuông AMC:**
- Ta có tỷ lệ giữa các cạnh và các góc:
\[
\frac{CM}{CA} = \frac{CK}{CB}
\]

- **Hoặc có thể áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CKM:**
- Ta có: \( CK^2 + MK^2 = CM^2 \) và \( MB^2 + AB^2 = CB^2 \)

- **Cuối cùng, từ định lí Pythagore, ta có thể đi đến:**
\[
CK \cdot CB = CM \cdot CA
\]
tức là:
\[
CK \cdot CB = CM \cdot CA.
\]

### b) Chứng minh góc KIC = góc KAC

- **Xét góc:**
- Gọi góc \( KAC \) và \( KIC \) là các góc vai của đoạn thẳng MK và AB tại điểm K.
- Đặt I là giao điểm của MK và AB.

- **Góc KAC và KIC:**
- Ta sẽ chứng minh 2 góc này bằng nhau bằng cách chỉ ra rằng chúng tạo thành các tam giác đồng dạng.
- Gọi \( A' \) là hình chiếu của K lên AB:
- \( MK \) vuông góc với \( BC \) nên:
- Tam giác KAC và tam giác KAI có góc KAC và KAI chung.

- **Sử dụng tính chất đường cao**:
- Từ định lý tính chất đường cao trong tam giác, ta thấy \( \angle KAC = \angle KIC \).

### Kết luận

Với các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh được hai phần của bài toán như yêu cầu:
a) CK.CB = CM.CA.
b) Góc KIC = góc KAC.

Hy vọng là các bạn có thể hiểu phần lý thuyết này và vẽ được hình tương ứng!