Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: ΔABK = ΔACK.

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Vẽ AK vuông góc với BC tại K.

**Chứng minh:**
- Ta có AK vuông góc với BC.
- Đẳng thức cạnh: AB = AC (vì tam giác ABC cân).
- Đẳng thức góc: Góc BAK = Góc CAK = 90 độ (do AK vuông góc với BC).
- Suy ra: ΔABK = ΔACK (theo tiêu chuẩn cạnh, góc, cạnh).

### b) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác AMC.

**Giả thiết:**
- Điểm M nằm trên tia AB sao cho BA = BM.
- N là trung điểm của MC. Vẽ AN cắt CB tại I.

**Chứng minh:**
- Ta có: BM = MA (vì M nằm trên AB và BA = BM).
- N là trung điểm của MC nên CN = NM.
- Trong ΔAMC, để chứng minh I là trọng tâm, ta cần chứng minh rằng I chia AM và MC theo tỉ lệ 2:1.
- Do M là điểm chia AM ra làm 2 phần bằng nhau, và N là trung điểm của MC, nên AN cắt CB tại I là trọng tâm của tam giác AMC.

### c) Chứng minh: 3AE > 2(AC − KC).

**Giả thiết:**
- Từ K kẻ KH // AB (H ∈ AC). BH cắt AK tại E.

**Chứng minh:**
- Do K là chân đường vuông góc từ A xuống BC, I là trọng tâm tam giác AMC và BH // AB, có thể suy rằng AK chia nhau thành các đoạn tỉ lệ.
- Vẽ AK và phân tích các đoạn AE và EC.
- Áp dụng tỉ lệ giữa các đoạn và tính chất của trọng tâm để lập luận về bất đẳng thức.

Các lập luận chi tiết và hình vẽ sẽ giúp hỗ trợ cho các phần chứng minh trên. Hy vọng các bước này sẽ giúp bạn giải bài tập thành công!