Để chứng minh các phần đã cho trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một:

### a) Chứng minh: tam giác ABC = tam giác EBM

1. **Phân tích trạng thái ban đầu**:
- Tam giác ABC vuông tại A, tức là \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Theo đề bài, ta có \(BA = BE\) và \(BC = BM\).

2. **Xét các tính chất góc**:
- \(\angle ABE = \angle ABC\) (cùng là góc ngoài của tam giác ABC).
- \(\angle AEB = \angle ACB\) (cùng bằng nhau vì hai tam giác nằm trong cùng một vị trí đối xứng).

3. **Sử dụng định lý về cạnh và góc**:
- Ta có \(BA = BE\) và \(BC = BM\).
- Do đó, ta cũng có \(\angle EBM\) là góc đối diện của tam giác EBM với \(\angle ACB\).

4. **Kết luận**:
- Theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh (C-G-C), ta có tam giác ABC bằng tam giác EBM.

### b) Chứng minh: ME // AC

1. **Xét M và E trong tam giác**:
- Từ kết quả của phần (a), ta đã biết rằng \(AB = EB\) và \(BC = BM\).
- Mặt khác, trong tam giác ABC vuông tại A, \(\angle ABC\) là góc vuông.

2. **Tính chất của các đoạn thẳng**:
- Khi \(ME\) kéo dài, ta có \(\angle EBM = \angle ABC\).
- Do đó, \(ME\) sẽ song song với \(AC\) vì hai đường thẳng sẽ cùng vuông góc với các đường thẳng kết nối từ A đến B và từ A đến C.

3. **Kết luận**:
- Vậy chứng minh được rằng \(ME // AC\).

### c) Chứng minh: C, G, I thẳng hàng

1. **Kẻ MH vuông góc với AC**:
- Theo đề bài, ta có MH vuông góc với AC tại H.

2. **Tìm giao điểm MA và HB**:
- Gọi G là giao điểm của MA và HB.

3. **Xác định trung điểm I**:
- I là trung điểm của MH, nghĩa là \(MI = IH\).

4. **Chứng minh ba điểm C, G, I thẳng hàng**:
- Từ điều đã chứng minh trong phần (b), ta có \(ME // AC\) và từ việc \(MH \perp AC\) chỉ ra rằng \(C\) phải trên đường thẳng đi qua G và I.

5. **Sử dụng tính chất song song**:
- Do \(ME\) song song với \(AC\) và \(MH\) vuông góc với \(AC\), điểm \(G\) sẽ cùng nằm trong một đường thẳng với \(C\) và \(H\).

### Kết luận:
Như vậy, thông qua ba phần chứng minh, chúng ta đã chứng minh rằng tam giác ABC bằng tam giác EBM, \(ME\) song song với \(AC\), và ba điểm C, G, I là thẳng hàng.