Để giải bài toán, ta sẽ đi qua từng phần một:

**a)** Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \).

1. Trong \( \triangle ABC \) vuông tại A, có các góc:
- \( \angle ABC \) là góc chung giữa hai tam giác.
- \( \angle HBA = 90^\circ - \angle ACB \).

2. Theo định nghĩa về tam giác đồng dạng (góc-góc), ta có:
- \( \angle ACB = \angle HBA \) (góc vuông).
- \( \angle ABC = \angle ABC \) (góc chung).

3. Do đó, \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) theo tiêu chuẩn góc-góc.

**b)** Chứng minh \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \) và tính \( BC \), \( AH \).

1. Theo công thức cho tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}.
\]

2. Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]

3. Thay BC vào công thức trên để tính \( AH \):
\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}.
\]

**c)** Tính diện tích tứ giác \( MNBC \).

1. Diện tích của tam giác \( ABC \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2.
\]

2. Diện tích của tứ giác \( MNBC \) sẽ bằng tổng diện tích của tam giác \( ABC \) trừ diện tích hai tam giác \( AMN \):
- Diện tích của \( AMN \) = \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \) và \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH \).

3. Diện tích của tứ giác:
\[
S_{MNBC} = S_{ABC} - (S_{AMN1} + S_{AMN2}).
\]

Do đó, để cụ thể hóa và hoàn thiện, bạn có thể sử dụng các công thức trên và thực hiện theo từng bước như đã cung cấp.