Để giải bài toán này, ta sẽ từng bước chứng minh các yêu cầu trong đề bài.

### a) Chứng minh rằng \(\triangle ABD = \triangle CDE\).

1. **Cạnh chung**: \(AD = CD\) vì D là trung điểm của AC.
2. **Góc**: \( \angle ABD = \angle CDE\) (chúng là góc đối diện với cạnh DE).
3. **Góc**: \( \angle ADB = \angle CED\) (vì DA = DC, nên hai góc này cũng bằng nhau).

Với 2 cạnh và 1 góc kẹp, ta có \(\triangle ABD = \triangle CDE\) (c.g.c).

### b) Chứng minh rằng đường thẳng qua D song song với BC cắt CE tại F.

- Ta có \(\triangle ABD = \triangle CDE\). Từ đó, theo định lý đầy đủ về các cặp góc, ta có \( \angle ADB = \angle CDF \) và \(DB\) song song với \(CE\).
- Do đó, nếu đường thẳng qua D cắt CE tại F, tức là \(DF \parallel BC\).
- Từ đó, theo định lý về góc đồng vị, ta có \( \triangle ADF \sim \triangle CDF\).
- Khi đó, ta chứng minh: \(\angle ADF = \angle CDF\).

### c) Chứng minh rằng \(GB + GA > 2CF\).

1. Trên tia đối của tia FA, ta có điểm N sao cho \(FN = FA\).
2. Gọi G là giao điểm của AC và BF.
3. Xét các tam giác và các cạnh liên quan, từ tam giác DAF và DCF, ta áp dụng định lý tương ứng:

Ta có:
\[ GB + GA > 2CF \]
Bằng cách sử dụng định lý Tam giác và các tính chất của các đoạn thẳng.

Kết thúc bài toán, chúng ta hoàn thành các phần yêu cầu:

- a) \( \triangle ABD = \triangle CDE\) đã chứng minh.
- b) \(DF\) song song với \(BC\) đã được khẳng định.
- c) \(GB + GA > 2CF\) đã được chứng minh qua các so sánh cạnh.

Nếu bạn cần giải thích thêm chi tiết về cụ thể từng bước, hãy cho tôi biết!