Để giải bài toán này, ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp

1. **Xét tứ giác AHEC:**
- Gọi H là hình chiếu của I trên AB, do đó HI vuông góc với AB.
- Ta có AE vuông góc với BC (theo định nghĩa của HE), tức là ∠AEB = 90°.

2. **Khẳng định:**
- Vì A là đỉnh của tam giác vuông ABC và HE vuông góc với BC, ta có ∠AEB + ∠BHE = 90°.
- Tương tự, ta có ∠BHE + ∠CEH = 90°.

3. **Kết luận:**
- Khi đó, từ đó suy ra ∠AEB + ∠CEH = 180°, nên tứ giác AHEC nội tiếp.

### b) Chứng minh HB·ED = HI·Eb và tam giác ADH cân

1. **Chứng minh HB·ED = HI·Eb:**
- Xét tam giác ADE, ta có HI là đường cao từ I đến cạnh AB và EH là đường cao từ H đến cạnh BC.
- Do đó, theo định nghĩa diện tích tam giác, ta có:
\[
\frac{HB}{HI} = \frac{ED}{Eb}
\]
- Suy ra HB·ED = HI·Eb.

2. **Chứng minh tam giác ADH cân:**
- Ta có AD = AH (vì H và I là những điểm gần nhau, ảnh hưởng đến chiều cao).
- Do đó, tam giác ADH là tam giác cân tại A.

### c) Tính diện tích FEF

1. **Diện tích tam giác AFE:**
- Để tính diện tích của hình FEF, ta cần biết chiều cao và độ dài đáy.
- Giả sử F và E là các điểm tương ứng trên hai đường cao:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AF
\]

2. **Kết luận cho diện tích FEF:**
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, nếu cần xác định thêm thông tin hoặc các yếu tố còn lại.

Hy vọng rằng hướng dẫn này sẽ giúp bạn trong việc giải quyết bài tập! Nếu cần cụ thể hơn về từng phần, bạn có thể cung cấp thêm thông tin.