Để chứng minh rằng trong ba đa thức \(M\), \(N\), và \(P\) có ít nhất một đa thức có giá trị không âm và một đa thức có giá trị không dương với mọi giá trị của \(x\), \(y\), \(z\), ta sẽ phân tích các đa thức này.

Đầu tiên, hãy viết lại ba đa thức:

\[
M = 2x - 2y + z
\]
\[
N = -x + y + z
\]
\[
P = -2z + y - x
\]

**Bước 1: Tìm giá trị của \(M\), \(N\), \(P\) cho một số trường hợp cụ thể.**

- **Trường hợp 1:** Cho \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\):
\[
M = 0, \quad N = 0, \quad P = 0
\]
Ở đây, \(M\), \(N\), và \(P\) đều không âm và cũng không dương.

- **Trường hợp 2:** Cho \(x = 1\), \(y = 1\), \(z = 1\):
\[
M = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1 = 1
\]
\[
N = -1 + 1 + 1 = 1
\]
\[
P = -2 \cdot 1 + 1 - 1 = -2
\]
Ở đây, \(M\) và \(N\) không âm trong khi \(P\) có giá trị âm.

**Bước 2: Tổng quát hóa cho các giá trị \(x\), \(y\), \(z\) bất kỳ.**

Ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong ba đa thức \(M\), \(N\), hoặc \(P\) sẽ có giá trị không âm cho mọi giá trị của \(x\), \(y\), \(z\).

Xét các giá trị riêng biệt của \(x\), \(y\), \(z\):
- Nếu \(z \geq 0\):
- Khi đó, từ biểu thức của \(M\) và \(N\):
\[
M = 2x - 2y + z \geq -2y + z \quad (\text{Nếu } x \text{ nhỏ hơn hoặc bằng } y)
\]
\[
N = -x + y + z \geq -x + z \quad (\text{Nếu } y \geq x)
\]
Lúc này, nếu \(z\) đủ lớn, có thể \(M\) hoặc \(N\) sẽ không âm.

- Nếu \(z < 0\):
- Ta có từ \(P\):
\[
P = -2z + y - x \quad (\text{Nếu } y \text{ lớn hơn } x)
\]
Ở đây, nếu \(y\) đủ lớn, \(P\) có thể trở thành không âm.

Tóm lại:
- Khi xét các trường hợp cụ thể và nhờ vào sự không đồng nhất trong các hệ số của mà mỗi đa thức có thể đưa ra kết quả khác nhau tùy thuộc vào sự tương quan giữa \(x\), \(y\), và \(z\).

**Kết luận:**
Từ các lập luận trên và sự thử nghiệm với những giá trị cụ thể, ta có thể thấy rằng với mọi giá trị của \(x\), \(y\), \(z\), sẽ có ít nhất một trong ba đa thức \(M\), \(N\), hoặc \(P\) có giá trị không âm và một đa thức sẽ có giá trị không dương cho các giá trị của \(x\), \(y\), \(z\).

Chính vì lý do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu.