Để chứng minh các phần của bài toán được đề cập:

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn:
- Tứ giác ABOC có các góc \(\angle ABC\) và \(\angle AOC\) đều là góc vuông, vì AB và AC là các tiếp tuyến.
- Ta có \(\angle ABC + \angle AOC = 180^\circ\).
- Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: \(AM \cdot AN = AH \cdot AO\):
- Theo tính chất của đường tròn, ta có: \(AM \cdot AN = AB^2 = AH \cdot AO\), do H là giao điểm của OA và BC.

c) Chứng minh K là trung điểm CE:
- K là giao điểm của AD với CE.
- E là hình chiếu của C trên BD, nghĩa là CE vuông góc với BD tại E.
- Từ tính chất đường tròn, CE là dây cung và EK là đường trung bình của tam giác BCD.
- Vì vậy, K là trung điểm của CE.

Hy vọng các chứng minh trên rõ ràng và giúp bạn hiểu đề bài!