Để chứng minh hai tam giác \( \triangle BAD \) và \( \triangle BKD \) bằng nhau, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của đường phân giác và các góc vuông.

1. **Chứng minh \( \triangle BAD = \triangle BKD \):**

- Do BD là đường phân giác của góc \( \angle ABC \), chúng ta có:
\[
\angle ABD = \angle CBD
\]

- Tam giác ABC vuông tại A, nên góc \( \angle BAK \) và góc \( \angle BDK \) đều là góc vuông do DK vuông góc với BC và AK vuông góc với BC. Do đó:
\[
\angle BAK = \angle BDK = 90^\circ
\]

- Xét hai tam giác \( \triangle BAD \) và \( \triangle BKD \):
- \( BD \) là cạnh chung.
- \( \angle ABD = \angle BKD \) (do BD là đường phân giác).
- \( \angle BAK = \angle BDK = 90^\circ \).

Do đó, theo trường hợp góc-cạnh-góc (GCG), ta có:
\[
\triangle BAD = \triangle BKD
\]

2. **Chứng minh BD là trung trực của đoạn thẳng AK:**

- Ta đã có \( \angle BAK = \angle BDK = 90^\circ \), tức là AK vuông góc với DK.
- Từ đó, \( AK \) là một đường cao của tam giác vuông \( \triangle BDK \).

- Ta có \( \triangle BAD = \triangle BKD \), nghĩa là BD không những là phân giác mà còn là đường trung trực của đoạn AK.

Vậy đường thẳng BD vừa là phân giác của góc ACB vừa là trung trực của đoạn AK.

Trên đây là những phần chứng minh cần thiết cho các kết luận của bài toán.