Để chứng minh các vấn đề trong hình học, chúng ta cần sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến tam giác, đường cao, và tứ giác nội tiếp. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng phần:

### a) Chứng minh tứ giác \( CDHE \) nội tiếp đường tròn

Ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối nhau trong tứ giác \( CDHE \) bằng \( 180^\circ \) (điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp).

1. **Nhận xét góc:**

Do \( AD \) và \( BE \) là đường cao của tam giác \( ABC \), ta có góc \( \angle ADH = 90^\circ \) và góc \( \angle BEH = 90^\circ \).

2. **Hai góc đối nhau:**

Trong tứ giác \( CDHE \):

- Xét góc \( \angle CDH \) và \( \angle CEH \):
\[
\angle CDH + \angle CEH = \angle ADH + \angle BEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Vì tổng hai góc đối nhau \( \angle CDH + \angle CEH = 180^\circ \) nên tứ giác \( CDHE \) là tứ giác nội tiếp.

### b) Chứng minh \( HA \cdot HD = HB \cdot HE \)

Ta sử dụng tính chất của đường tròn và tứ giác nội tiếp để chứng minh.

1. **Tính chất hình nội tiếp đường tròn:**

Vì tứ giác \( CDHE \) nội tiếp đường tròn, theo tính chất tứ giác nội tiếp, ta có:
\[
HA \cdot HD = HB \cdot HE
\]

### Kết luận

Như vậy, tứ giác \( CDHE \) nội tiếp đường tròn, và tích \( HA \cdot HD = HB \cdot HE \) được chứng minh bằng cách xác nhận tứ giác là nội tiếp và áp dụng tính chất đường kính và đường cao liên quan.