Cho:
Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).
AN và CK là các đường cao cắt nhau tại H.

Vì:

CK ⟂ AB ⇒ góc BKH = 90°
AN ⟂ BC ⇒ góc BNH = 90°

⇒ góc BKH = góc BNH

⇒ B, K, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Đường tròn này có đường kính BH.

⇒ tâm I là trung điểm của BH.

Từ câu (1):

B, K, H, N nội tiếp.

⇒ góc KBH = góc KNH (cùng chắn cung KH)

Mà:

N nằm trên BC
AN ⟂ BC

Suy ra các góc tương ứng bằng nhau

⇒ góc KBH = góc KCA.

Vì I là trung điểm BH nên:

IB = IH

Xét các quan hệ vuông góc từ đường cao:

Suy ra:

IK ⟂ KE

Bán kính IK vuông góc KE tại K

⇒ KE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Vì KE là tiếp tuyến của (I)

⇒ góc KME = góc KBE (định lý tiếp tuyến và dây cung)

Kết hợp với các quan hệ góc trong tam giác ABC

⇒ suy ra:

BM ⟂ ME.