Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 với 

 và 

 là 


.
Dưới đây là các bước giải chi tiết sử dụng kỹ thuật Bất đẳng thức Cauchy ngược dấu:
1. Biến đổi biểu thức bằng kỹ thuật ngược dấu
Ta nhận thấy các phân thức có dạng 

. Để hạ bậc mẫu số, ta thực hiện biến đổi sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số: 

 (với 

). Khi đó:

Từ đó suy ra:

2. Thiết lập các bất đẳng thức tương tự
Tương tự cho hai hạng tử còn lại trong biểu thức 

:


3. Cộng các vế của bất đẳng thức
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta có:

Thay giả thiết 

 vào:

4. Sử dụng bất đẳng thức phụ
Ta có bất đẳng thức quen thuộc: 

.
Thay 

 vào:

Do đó:

Thay vào biểu thức của 

:

5. Xác định dấu bằng xảy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các dấu bằng ở các bước trên đồng thời xảy ra:

•  
• 
   (thỏa mãn)

✅ Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 là 


, đạt được khi 


.