Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AO vuông góc BC

1. **Tứ giác ABOC nội tiếp**:
- Ta có hai tiếp tuyến AB và AC với điểm A bên ngoài đường tròn (O, R) tại các điểm B và C.
- Theo định lý về tiếp tuyến, góc OAB = góc OAC. Do đó, ∠OBA = ∠OCA. Suy ra, ∠OBC = ∠OAC.
- Từ đó, ta có ∠AOB = ∠AOC (do cả 2 đều cùng nằm hướng về điểm A).
- Từ những điều trên, ta thấy tứ giác ABOC có cặp góc đối xứng nhau, nên nó là tứ giác nội tiếp.

2. **AO vuông góc với BC**:
- Ta có góc từ A đối với đường tròn là ∠OAB và ∠OAC. Vì AO là đường kính nên AO vuông góc với đường thẳng BC (cụ thể hơn là BC đi qua 2 điểm B, C là tiếp điểm của các tiếp tuyến từ A và sẽ vuông góc với OA).

### b) Chứng minh I là trung điểm CK

- **Gọi K là hình chiếu của C trên BD**: Đường thẳng CK vuông góc với BD tại K.
- **Điểm I là giao điểm của CK và AD**: Theo tính chất hình chiếu, ta có CK ⊥ BD và điểm A nằm ngoài đường tròn, vì vậy hình chiếu K của C lên BD sẽ tạo thành 1 đường thẳng với A (AD).
- Giả sử CK cắt AD tại I, và từ tính chất của tiếp tuyến và đường kính thì:
- CK = AI + ID.
- Một tính chất của hình chiếu cho ta biết rằng AI = ID.
- Do đó, I sẽ là trung điểm của CK.

### c) Tính diện tích của tứ giác AMOC theo R khi OA = 2R

1. **Tứ giác AMOC**:
- Ta biết OA = 2R. Do OA là đường kính, và B, C là các điểm tiếp xúc, tứ giác AMOC có các điểm M, O, A, C.

2. **Xác định các cạnh**:
- Diện tích tứ giác AMOC có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OC \cdot \sin(\angle AOC)
\]
- Do AO là đường kính và AC là tiếp tuyến nên:
- AB = AC = R (bán kính của đường tròn).
- Hơn nữa, tứ giác AMOC có thể chia thành các hình tam giác để tính diện tích.

3. **Sử dụng các số liệu**:
- Nếu AB = h (khoảng cách từ A đến đường tròn) và góc giữa AO và AC (tương ứng với hình chiếu) =
- Tính trực tiếp thì có thể dùng diện tích tam giác: Trên các tọa độ, sẽ dễ dàng tính diện tích từng phần.

Cuối cùng, bạn nên xem lại các tọa độ và mối quan hệ giữa các tham số trong mặt phẳng để có cái nhìn chính xác hơn. Sẽ là khoảng \(2R^2\) cho diện tích của tứ giác AMOC khi rút gọn lại.

### Kết luận
Diện tích của tứ giác AMOC sẽ đạt được tùy vào cách thức tính toán và các tham số nhưng sẽ rơi vào tính toán cuối cùng khi OA = 2R cho được giá trị cụ thể.