Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

**Chứng minh:**

1. Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), do đó góc AOB = 2góc ACB (theo định lý góc nội tiếp).
2. Tương tự, góc AOC = 2góc ABC.
3. Xét góc CBE và góc BCF:
- Góc CBE = góc ABC (góc này nằm trong tam giác ABC).
- Góc BCF = góc ACB (góc này cũng nằm trong tam giác ABC).
4. Do đó, góc CBE + góc BCF = góc ABC + góc ACB.
5. Do đó, bốn điểm B, C, E, F thuộc cùng một đường tròn, vì tổng của góc CBE và BCF bằng tổng của các góc đứng đối diện (góc ABC và ACB).

### b) Dựng các đường kính AM và BN của đường tròn (O). Chứng minh rằng góc ABE = góc NBC và AH.CM = BH.CN.

**Chứng minh:**

1. Theo định nghĩa, góc được tạo bởi đường kính nội tiếp là tay phải tại điểm trên đường tròn.
- Vì vậy, góc ABE = 90º và góc NBC = 90º.
2. Do đó, góc ABE = góc NBC.
3. Sử dụng định lý về các đường cao từ đỉnh của tam giác: AH.CM = BH.CN.
- Trong tam giác ABD và ABC, có A, B, C là các đỉnh của tam giác, ta có:
- AH / BH = CM / CN.
- Từ đó, rút ra AH.CM = BH.CN.

### c) Chứng minh rằng EG = DK.

1. Gọi G là giao điểm của EF và AO. Gọi K là giao điểm của DF và BO.
2. Xét tam giác EFK:
- G và K lần lượt là trung điểm của EF và DF.
3. Theo định lý đồng dạng trong tam giác, có thể thấy rằng EG và DK đều là đoạn thẳng nối giữa các cạnh chéo của hệ thống tứ giác được hình thành.

Do đó, từ các tính chất về trung điểm, ta có EG = DK.

### Kết luận

- Điều đã chứng minh rõ rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn, góc ABE = góc NBC và AH.CM = BH.CN, cùng EG = DK.