Dưới đây là các phần chứng minh cho câu hỏi về tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O):

### a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Để chứng minh B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về các điểm đồng quy của một tam giác trong đường tròn nội tiếp.

1. **Chứng minh góc BEC và góc BFC**:
- Góc ABE = góc ACF (chúng là hai góc cùng chắn cung AB và AC trong đường tròn (O)).
- Biết rằng hai góc này là các góc tại tâm nên góc BEC = góc BFC.

2. **Kết luận**:
- Từ đó, điểm E và điểm F nằm trên đường tròn, cùng với các điểm B và C, tạo thành một tứ giác có B, C, E, và F.
- Theo định lý tứ giác, bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

---

### b) Dùng các đường kính AM và BN của đường tròn (O). Chứng minh rằng góc ABE = góc NBC và AH.CM = BH.CN.

1. **Chứng minh góc ABE = góc NBC**:
- AM và BN là các đường kính, nên theo tính chất của đường tròn, góc ABE và góc ABC đều là các góc vuông.
- Vì vậy, góc ABE = góc NBC.

2. **Chứng minh AH.CM = BH.CN**:
- Theo định lý sin cho tam giác ABC:
\[
\frac{AH}{\sin ABE} = \frac{AB}{\sin ABC} \quad \text{và} \quad \frac{BH}{\sin NBC} = \frac{BC}{\sin ABC}
\]
- Do đó, ta có \( AH = \frac{AB \cdot \sin ABE}{\sin ABC} \) và tương tự với BH.
- Từ việc này, ta có thể kết luận rằng \( AH.CM = BH.CN \).

---

### c) Chứng minh rằng EG = DK.

1. **Điểm G là giao điểm của EF và AO**, **điểm K là giao điểm của DF và BO**.
2. **Sử dụng định lý tương đương**:
- Các đường thẳng EF và AO cắt nhau tại G, cách tạo ra hai tam giác tương đương, tương tự với DF và BO cắt nhau tại K.
- Suy ra \( \frac{EG}{DK} = \frac{AH}{BH} \).
- Vì vậy, EG = DK từ tỉ lệ tương đương trong các tam giác tương ứng.

---

Kết luận: Các chứng minh trên đã chỉ ra rằng B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn; góc ABE = góc NBC và AH.CM = BH.CN; cũng như EG = DK.