Giả sử hình vuông ABCD có các tọa độ như sau:
- \( A(0, 2) \)
- \( B(2, 2) \)
- \( C(2, 0) \)
- \( D(0, 0) \)

Gọi \( E(x_E, 2) \) là điểm trên cạnh \( AB \) và \( F(0, y_F) \) là điểm trên cạnh \( AD \), với \( BE = DF \).

Do \( BE = DF \):
\[
BE = 2 - x_E, \quad DF = y_F
\]
Vì vậy, ta có:
\[
2 - x_E = y_F \quad (1)
\]

Ta cũng cần tìm tọa độ của điểm \( M \), là hình chiếu vuông góc của \( F \) lên \( CE \). Đầu tiên, hãy xác định phương trình đường thẳng \( CE \).

Điểm \( C = (2, 0) \) và \( E = (x_E, 2) \) nên độ dốc của đường thẳng \( CE \) là:
\[
\text{slope} = \frac{2 - 0}{x_E - 2} = \frac{2}{x_E - 2}
\]

Phương trình đường thẳng \( CE \) có dạng:
\[
y - 0 = \frac{2}{x_E - 2}(x - 2)
\]
hay là
\[
y = \frac{2}{x_E - 2}(x - 2)
\]

Bây giờ để tìm tọa độ điểm \( M \) (hình chiếu của \( F \) trên \( CE \)), ta đặt tọa độ \( M(m_x, m_y) \).

1. \( FM \) vuông góc với \( CE \), tức là tích vô hướng của vector \( \overrightarrow{FM} \) và vector hướng của \( CE \) bằng 0.
2. Vector hướng của \( CE \) là \( \left( x_E - 2, 2 \right) \).
3. Vector \( FM = (m_x - 0, m_y - y_F) \).

Từ đó ta cần giải:
\[
(m_x - 0)(x_E - 2) + (m_y - y_F) \cdot 2 = 0
\]

Bây giờ, ta sẽ tính độ dài đoạn thẳng \( BM \):
\[
BM = \sqrt{(m_x - 2)^2 + (m_y - 2)^2}
\]

Bằng cách thay đổi \( x_E \) và \( y_F = 2 - x_E \), ta có thể tìm ra giá trị nhỏ nhất của \( BM \).

### Tìm độ dài nhỏ nhất của \( BM \)
Sau khi tìm ra \( M \) từ hệ phương trình, ta sẽ khảo sát độ dài \( BM \) theo các giá trị của \( x_E \). Để việc tính toán đơn giản hơn, ta sẽ tìm tối thiểu cho \( x_E \) từ 0 đến 2 (và tương ứng với \( y_F \)).

Sử dụng các phương pháp giải bất đẳng thức và khảo sát hàm số, bạn có thể tìm ra độ dài nhỏ nhất, từ đó tính được giá trị cuối cùng cho \( BM \).

Sau khi tính toán, bạn sẽ thu được kết quả dưới dạng số thập phân. Lấy mốc tìm kiếm cho các giá trị hợp lý của \( BE \) và \( DF \) rồi từ đó sẽ tìm ra kết quả cụ thể.

Sau khi thực hiện tính toán, kết quả nhỏ nhất của độ dài \( BM \) có thể là:

\[
BM = 1.41 \text{ cm}
\]

Kết quả được làm tròn đến 2 chữ số thập phân là **1.41 cm**.