Giải tam giác là đi tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác đó.

• Tìm góc $\widehat{C}$:

  Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên hai góc nhọn phụ nhau:

  $$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

• Tính cạnh $AC$:

  Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $ABC$:

  $$\tan B = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \tan 60^\circ = 9 \cdot \sqrt{3} \approx 15,59\text{ cm}$$

• Tính cạnh $BC$:

  $$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AB}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0,5} = 18\text{ cm}$$

Kết luận câu a: $\widehat{C} = 30^\circ$, $AC = 9\sqrt{3}\text{ cm}$, $BC = 18\text{ cm}$.

• Ý 1: Chứng minh $AE \cdot AB = AH^2$

  Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có đường cao $HE$ (vì $E$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$).

  Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

  $$AE \cdot AB = AH^2 \quad (1)$$

• Ý 2: Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta AFE$

  Tương tự ý trên, xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có đường cao $HF$:

  $$AF \cdot AC = AH^2 \quad (2)$$

  Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

  $$AE \cdot AB = AF \cdot AC \Rightarrow \frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$$

  Xét tam giác $AFE$ và tam giác $ABC$ có:

  • $\widehat{A}$ chung

  • $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$ (chứng minh trên)

  $\Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta ABC \text{ (c-g-c)}$

  Do đó, đảo thứ tự đỉnh lại cho đúng chuẩn đề bài yêu cầu: $\Delta ABC \sim \Delta AFE$.

Vì tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông ($\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$) nên $AEHF$ là hình chữ nhật.

Do đó, $\widehat{AFE} = \widehat{AHE}$. Mà $\widehat{AHE} = \widehat{B}$ (cùng phụ với $\widehat{EHB}$).

Suy ra $\widehat{AFE} = \widehat{B}$.

Xét tam giác $AIF$ vuông tại $I$, ta có: $\widehat{FAI} + \widehat{AFE} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{FAI} + \widehat{B} = 90^\circ$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $\widehat{C} + \widehat{B} = 90^\circ$.

Từ hai điều này suy ra: $\widehat{FAI} = \widehat{C}$, hay chính là $\widehat{KAC} = \widehat{C}$.

Vì $\widehat{KAC} = \widehat{C}$ nên tam giác $KAC$ cân tại $K \Rightarrow KA = KC$. (3)

Lại có $\widehat{KAB} + \widehat{KAC} = 90^\circ$ và $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$, mà $\widehat{KAC} = \widehat{C}$ nên suy ra $\widehat{KAB} = \widehat{B}$.

Do đó tam giác $KAB$ cân tại $K \Rightarrow KA = KB$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $KB = KC = KA$. Vậy $K$ là trung điểm của $BC$.

Trong tam giác $AIF$ vuông tại $I$:

Mà ta đã chứng minh ở trên là $\widehat{FAI} = \widehat{C}$ và trong tam giác vuông $ABC$ thì $\widehat{C} = 90^\circ - B \Rightarrow \sin \widehat{FAI} = \sin C = \cos B$.

Do đó: $IF = AF \cdot \cos B$.

Mặt khác, trong tam giác vuông $AHF$ vuông tại $F$:

Trong tam giác vuông $AHB$ vuông tại $H$:

Trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$:

Thế ngược chuỗi công thức này vào $IF$:

1. $AH = BC \cdot \cos B \cdot \sin B$

2. $AF = (BC \cdot \cos B \cdot \sin B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^2 B \cdot \sin B$

3. $IF = (BC \cdot \cos^2 B \cdot \sin B) \cdot \cos B = BC \cdot \cos^3 B \cdot \sin B$

Chia cả hai vế cho $BC$, ta được điều phải chứng minh: