b) Xét tứ giác BEIF có :
IE // BF ( gt )
Vì GF cắt EI tại I mà AB // GF => BE // IF
=> Tứ giác BEIF là hình bình hành.

c) Gọi K là giao điểm của BI và AG
Ta có : Tứ giác BEIG là hình bình hành 
              => EF = BI ( 1 )
Ta lại có : Tứ giác AFGE là hình chữ nhật 
              => AG = EF ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => BI = AG
=> Tứ giác AIGB là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm K )
=> AI // BG ( 3 ) và AI = BG 
Mà BG = GC => AI = GC ( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) => Tứ giác AICG là hình bình hành ( 5 )
Mà ta lại có trong tam giác vuông ABC có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền 
=> AG = GC ( 6 )
Từ ( 5 ) và ( 6 ) => Tứ giác AICG là hình thoi.