Câu 12:
 4cos^4x - cos2x - 1/2.cos4x + cos(3x/4) = 7/2 (1) 
<=> (1+ cos 2x)^2 - cos 2x - 1/2 (2 (cos 2x)^2-1 ) + cos (3x/4) = 7/2 
<=> cos 2x + cos (3x/4 ) -2 =0 (2) 
Do
{ cos 2x ≤1
{ cos (3x/4) ≤1
nên (2) có nghiệm
<=> cos 2x=cos (3x/4) =1 
<=> x =8k pi (k thuộc Z)

Câu 13:
cos²x(cosx-1)/(sinx + cosx ) = 2(1+sinx) 
DK : sinx+cosx # 0 <=> tanx # -1 . 
<=> (1-sin²x)(cosx-1)/(sinx+cosx) = 2(1+sinx) 
<=> (1-sin²x)(cosx-1) - 2(1+sinx)(sinx+cosx) = 0 
<=> (1-sinx)(1+sinx)(cosx-1) - 2(1+sinx)(sinx+cosx) = 0 
<=> (1+sinx)((1-sinx)(cosx-1) - 2(sinx+cosx)) = 0 
<=> (1+sinx)(1-sinxcosx - sinx - cosx) = 0 
<=> 1 + sinx = 0 
hoặc 1-sinxcosx - sinx - cosx = 0 . 
tới đây bạn tự giải tiếp đc rồi .

Câu 14:
1 + sin(x/2).sinx - cos(x/2)sin²x = 2cos²(π/4 - x/2) 
<=> 1 + sin(x/2).sinx - cos(x/2)sin²x = 1 + cos(π/2 - x) 
<=> sin(x/2).sinx - cos(x/2)sin²x = cos(π/2 - x) 
<=> sin(x/2).sinx - cos(x/2)sin²x = sinx 
<=> sinx[ sin(x/2) - cos(x/2)sinx - 1 ] = 0 
<=> sinx = 0 <=> x = kπ ( k thuộc Z ) 
<=> sin(x/2) - cos(x/2)sinx - 1 = 0 
<=> sin(x/2) - 2sin(x/2)cos²(x/2) - 1 = 0 
<=> sin(x/2) - 2sin(x/2)[ 1 - sin²(x/2) ] - 1 = 0 
Đặt t = sin(x/2) 
<=> t - 2t( 1 - t² ) - 1 = 0 
<=> t - 2t + 2t^3 - 1 = 0 
<=> 2t^3 - t - 1 = 0 
<=> t = 1 <=> sin(x/2) = 1 
<=> x/2 = π/2 + k2π ( k thuộc Z ) 
<=> x = π + k4π

Câu 15:
[sin³x.sin3x + cos³x.cos3x] / [ tan(x - π/6).tan(x + π/3) ] = - 1/8
đk:
{ cos(x - π/6) ≠ 0 . . . . . kết hợp các điều kiện này lại, ta suy ra 2 đk là
{ tan(x - π/6) ≠ 0 . . . . . .{ sin(2x - π/3) ≠ 0 . . → { x ≠ π/6 + kπ/2 (k ∈ Z)
{ cos(x + π/3) ≠ 0 . . --> { sin(2x + 2π/3) ≠ 0 . . . { x ≠ -π/3 + kπ/2 (k ∈ Z)
{ tan(x + π/3) ≠ 0
pt ⇔ sin³x.sin3x + cos³x.cos3x = -1/8.[ tan(x - π/6).tan(x + π/3) ]
Tách ra từng phần cho dễ làm + dễ nhìn nhé:
tan(x - π/6).tan(x + π/3)
= tan(x - π/6).tan[π/2 - (π/6 - x)]
= tan(x - π/6).cot(π/6 - x)
= ‒tan(x - π/6).cot(x - π/6)= ‒1
→ pt ⇔ sin³x.sin3x + cos³x.cos3x = 1/8
⇔ sin3x.sinx.sin²x + cos3x.cosx.cos²x = 1/8
⇔ sin3x.sinx.(1 - cos²x) + cos3x.cosx.(1 - sin²x) = 1/8
⇔ (cos3x.cosx + sin3x.sinx) - (sin3x.sinx.cos²x + cos3x.cosx.sin²x) = 1/8
⇔ cos2x - sinx.cosx.(sin3x.cosx + cos3x.sinx) = /18
⇔ 8cos2x - 8sinx.cosx.sin4x = 1
⇔ 8cos2x - 4sin2x.sin4x = 1
⇔ 8cos2x - 8sin²2x.cos2x = 1
⇔ 8cos2x(1 - sin²2x) = 1
⇔ 8cos2x.cos²2x = 1
⇔ (2cos2x)³ = 1
⇔ 2cos2x = 1
⇔ cos2x = 1/2
⇔ [ x = π/6 + mπ (m ∈ Z) : loại do ko t/m đk
. . .[ x = -π/6 + nπ (n ∈ Z) : t/m đk
Vậy pt đã cho có nghiệm là: x = -π/6 + nπ (n ∈ Z)

Câu 16:
PT <=>(1+sinx/cosx)cos^3x+(1+cosx/sinx)sin... 2sin2x 
<=>[cosx+sinx)cos^3x]/cosx+[(sinx+cosx)... 
<=>(cosx+sinx)sin^2x+(cosx+sinx)sin^2x=... 2sin2x 
<=>(cosx+sinx)(sin^2x+cos^2x)=căn 2sin2x 
<=>cosx+sinx=căn 2sin2x 
bình phương 2 vế 
<=>sin2x=2sin2x 
<=>sin2x=0 
<=>x=kpi/2

Câu 17:
sin(3x - π/4) = sin2x.sin(x + π/4) (1) 

Đặt t = x + π/4 
--> x = t - π/4 
--> 3x = 3t - 3π/4 
--> 3x - π/4 = 3t - π 

2x = 2t - π/2 

(1) <=> sin(3t - π) = sin(2t - π/2).sint 
<=> sin3t = -cos2t.sint 
<=> 3sint - 4sin³t + cos2t.sint = 0 
<=> sint(3 - 4sin²t + cos2t) = 0 
<=> sint(3 - 2 + 2cos2t + cos2t) = 0 
<=> sint(1 - 3cos2t) = 0 
<=> 
{ sint = 0 
{ cos2t = 1/3 
<=> 
Tự làm tiếp --> Giải ra t --> Thay vào trên tìm x 

Câu 18: 
nhân cả 2 vế pt với 2cos x/2 được: 
2cos x/2 ( cos 3x-cos 2x + cos x)= cos x/2 
<=> cos 7x/2 + cos 5x/2 - cos 5x/2 - cos 3x/2 + cos 3x/2 + cos x/2 = cos x/2 
<=> cos 7x/2 =0
<=> 7x/2 =  π/2 + kπ
chuyển vế tự giải

Câu 19:
Ta có:
tan(x - π/6).tan(x + π/3)
= tan(x - π/6).tan[π/2 - (π/6 - x)]
= tan(x - π/6).cot(π/6 - x)
= ‒tan(x - π/6).cot(x - π/6)= ‒1
Khi đó pt trở thành:
- sin3x = sinx + sin2x
<=> sinx + sin2x + sin3x = 0 
<=> 2sin2xcosx + sin2x = 0 
<=> sin2x(2cosx + 1) = 0 
<=>
[sin2x=0
[2cosx+1=0
Đến đây dễ rồi tự giải nhé

Câu 20:
Sử dụng công thức : 
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb 
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb 

cos(x + 3π ) = -cosx 
sin(x - π ) = -sinx 
cos(x + 21π/2) = -sinx 

2cosx + 1/3 . cos²x = 8/3 + sin²x + 3sin²x + 1/3sin²x 

<=> 2cosx + 1/3cos²x = 8/3 + 13/3(1 - cos²x ) 

<=> 14/3cos²x + 2cosx - 8/3 = 0 

<=> 7cos²x + 3cosx - 4 = 0 

<=> cosx = 4/7 
<=> cosx = -1 

<=> x = ±arccos(4/7) + k2π ( k ∈ ℤ ) 
<=> x = π + k2π

Câu 21:
sin2x + sinx -1/(2sinx) - 1/sin2x = 2cot2x 
DK : sin2x <> 0 <=> x <>kπ/2 
<=> sin2x + sinx -1/(2sinx) = 2cot2x + 1/sin2x 
<=> sin2x + sinx -1/(2sinx) = (2cos2x + 1) / sin2x 
<=>sin²2x + sinxsin2x - cosx - 2cos2x - 1 = 0 
<=> 2sin²xcosx - cosx + 1 - cos²2x - 2cos2x - 1 = 0 
<=> cosx(2sin²x - 1) - cos2x(cos2x + 2) = 0 
<=> cosx(2sin²x - 1) - cos2x(cos2x + 2) = 0 
<=> cosx(sin²x - cos²x) -cos2x(cos2x + 2) = 0 
<=>cosx(-cos2x) - cos2x(cos2x +2) = 0 
<=> -cos2x(cosx + 2cos²x + 1) =0 
<=>cos2x = 0 hoac cosx + 2cos²x + 1 = 0 
+) Với cos2x = 0 <=> x = π/4 + kπ/2 
+) Với cosx + 2cos²x + 1 ; dat t = cosx ta co: 2t^2 + t + 1 = 0 (Vô nghiem) 
Vậy nghiệm của pt: x = π/4 + kπ/2 ( k thuoc Z )

Câu 24:
2cos3x + √3.sinx + cosx = 0
<=> cos3x + (√3/2).sinx + (1/2).cosx = 0 
<=> cos3x + sin(pi/3).sinx + cos(pi/3).cosx = 0 
<=> cos3x + cos(x-pi/3) = 0
<=> cos3x = -cos(x-pi/3) = cos(x+2pi/3) 

<=> [ 3x = x+2pi/3 + 2kpi <=> [ x = pi/3 + kpi 
------ [ 3x = -x -2pi/3 + 2kpi ----- [ x = -pi/6 + kpi/2 

Câu 25:
+) sin^6 + cos^6 = (sin^2 +cos^2)(sin^4 -sin^2cos^2+cos^4) = sin^4 + cos^4 -sin^2cos^2= (sin^2+cos^2)^2-3sin^2cos^2 = 1 - 3 sin^2cos^2 = 1-(3sin^2 2x)/4 

+) cos^2 x - sin^2 x = cos2x 

Quy đồng 

1-(3sin^2 2x)/4 = 1/4 sin 2x 
4 - 3 sin^2 2x = sin 2x 
3sin^2 2x + sin2x -4 =0 
sin2x = 1 suy ra x=pi/4 +kpi ( vì -1<= sin 2x <= 1)