Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có OA = OB = OC = OD = R.

Bốn điểm A, B, C, D, cách đều điểm O nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

AC^2=AB^2+BC^2=12^2+5^2=169⇒AC=13

Bán kính của đường tròn là R=13/2=6,5.

Nhận xét: Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.

Nối (1) với (5),

(2) với (6),

(3) với (4).

a) Vì HA=HB  nên  OH⊥AB

Vì KC=KD nên  OK⊥CD

Mặt khác, AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

ΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra EH=EK.

b) Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KC

hay  EA=EC.

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có: 

EO=1/2BC;DO=1/2BC..

Suy ra OE=OD=OB=OC(=1/2BC)

Do đó 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC. 

b) Xét đường (O;BC/2), BC là đường kính, DE là một dây không qua tâm, do đó DE<BC

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có OA = OB = OC = OD = R.

Bốn điểm A, B, C, D, cách đều điểm O nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

AC^2=AB^2+BC^2=12^2+5^2=169⇒AC=13

Bán kính của đường tròn là R=13/2=6,5.

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có: 

EO=1/2BC;DO=1/2BC..

Suy ra OE=OD=OB=OC(=1/2BC)

Do đó 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC. 

b) Xét đường (O;BC/2), BC là đường kính, DE là một dây không qua tâm, do đó DE<BC
Câu 5:

a) Vì HA=HB  nên  OH⊥AB

Vì KC=KD nên  OK⊥CD

Mặt khác, AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

ΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra EH=EK.

b) Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KC

hay  EA=EC.

Chứng minh được tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Pytago đảo):

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AB}}^2$

⇒AC⊥AB  tại  A

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn

a) Vẽ OH⊥AB, ta có

HA=HB=4cm.

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{OH}}^2={\mathrm{OB}}^2-{\mathrm{HB}}^2=5^2-4^2=9 \\ \Rightarrow \mathrm{OH}=3\left(\mathrm{cm}\right) \end{gathered}$$
b) Vẽ OK⊥CDOK⊥CD.

Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK=HI. Ta có HI=4−1=3cm, suy ra OK=3cm.

Vậy OH=OK=3cm.

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó AB=CD.