Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.

Đạo hàm có biểu diễn trong hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào. Vì lý do đó, đạo hàm còn được gọi là "tốc độ biến thiên tức thời", tỉ số giữa số gia của biến phụ thuộc và số gia của biến độc lập.

Đối với hàm đa biến, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, trong đó đồ thị là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất đối với đồ thị của hàm ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận mô tả phép biến đổi tuyến tính này theo các biến độc lập và phụ thuộc, chứa các đạo hàm riêng của hàm đó giữa hai không gian vector. Với hàm số thực gồm nhiều biến, ma trận Jacobi được rút gọn thành vector gradien.

Phép toán để tính đạo hàm được gọi là vi phân. Khái niệm ngược lại với đạo hàm là nguyên hàm. Định lý cơ bản của giải tích liên hệ nguyên hàm với tích phân. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.

Vi phân là phương pháp để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số y = f(x), với x là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của y tương ứng khi x biến thiên, và còn được gọi là đạo hàm của f đối với x. Nếu x và y đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong mặt phẳng tọa độ.

Ta xét trường hợp đơn giản nhất: gọi y là hàm số bậc nhất của x, khi đó đồ thị của hàm là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f(x) = mx + b với m và b là các số thực và hệ số góc m được tính bằng công thức:

Gọi f là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với x bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của f tại x. Hàm số đó được gọi là đạo hàm của f và kí hiệu là f'.

Thỉnh thoảng f có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại a bằng f′(a) khi f′(a) xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của f, dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là D thì D(f) là hàm số f'. D(f) là hàm số xác định tại a nên ta có D(f)(a) = f′(a).

Để so sánh, ta xét hàm số f(x) = 2x: f là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

Gọi f là hàm số khả vi và f ' là đạo hàm của nó. Đạo hàm của f ' (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp hai của f và kí hiệu là f ′′. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp ba của f và kí hiệu là f ′′′. Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1. Các đạo hàm trên được gọi chung là đạo hàm cấp cao.

Nếu x(t) mô tả vị trí của một vật ở thời gian t thì mỗi đạo hàm cấp cao của x mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của x là vận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của x là gia tốc. Đạo hàm cấp ba của x là độ giật,...

Một hàm số f(x) không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi f(x) có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số