1. Giả sử
7
là số hữu tỉ 
m
7
n

(tối giản). Suy ra
2
2 2
2
m
7 hay 7n m
n
 

(1). Đẳng thức này chứng tỏ

2 m 7
mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2

(2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 =

49k2
nên n2 = 7k2

(3). Từ (3) ta lại có n2

7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên

phân số
m
n
không tối giản, trái giả thiết. Vậy
7
không phải là số hữu tỉ; do đó
7
là số vô tỉ.