a,Xét ΔAIC và ΔBCK có :

AICˆ=BCKˆ(cùng phụ với ICA^ )

IAC^=CBK^ (=90)

Do đó ΔAIC∞ΔBCK (g-g)

suy raAIAC=CBBK

suy ra đpcm

b,

Ta có ICPˆ=90 (góc nt chắn nửa đường tròn )

suy ra tứ giác CPKB nội tiếp 1 đường tròn

suy raCPB^ =CKB^ (góc nt cùng chắn cung CD)

mà CKB^=ICA^ (do 2 tam giác đồng dạng ở câu a)

Nên CPB^=ICA^

Ta có APBˆ=APCˆ+CPBˆ=APCˆ+ICAˆ=12(sđAI+sđAC)

Mà AOIˆ=sđAI;AOCˆ=sđAC

suy ra 12(sđAI+sđAC)=12(AOIˆ+AOCˆ)=12.180=90

Do đó APB^=90

suy ra tam giác ABP vông tại P

c,S ABKI=AB(KB+AI)2

Mà AB,AI cố định nên để S ABKI lớn nhất buộc BK lớn nhất

Ta có ΔAIC∞ΔBCK (câu a)

⇒BKBC=ACAI

⇒BK=AC.BCAI≤(AC+BC)24AI=AB24AI

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi AC=BC

suy ra C là trung điểm của AB