Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trực tâm H. Gọi J là điểm đối xứng với O qua BC. Chứng minh rằng J là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BHC.

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định, A chuyển động trên (O). M là trung điểm của AB. Kẻ MK ⊥⊥ AC (K thuộc AC). Chứng minh rằng K chuyển động trên một đường tròn cố định.

Bài 3: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB; X, Y, Z lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH. Chứng minh rằng D, E, F, M, N, P, X, Y, Z cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Gọi X, Y, Z là các điểm trên đoạn AD, BE, CF sao cho $\frac{\mathrm{XD}}{\mathrm{AD}}+\frac{YE}{BE}+\frac{ZF}{CF}=1$. Chứng minh rằng H, X, Y, Z cùng thuộc 1 đường tròn.