Gọi các số ban đầu là \( x_1, x_2, \ldots, x_{100} \). Khi mỗi số được cộng thêm 1 lần đầu tiên, các số trở thành \( x_1 + 1, x_2 + 1, \ldots, x_{100} + 1 \). Tổng bình phương của các số ban đầu là: \[ S_1 = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_{100}^2. \] Tổng bình phương sau khi cộng thêm 1 lần đầu tiên là: \[ S_2 = (x_1 + 1)^2 + (x_2 + 1)^2 + \ldots + (x_{100} + 1)^2. \] Mở rộng \( S_2 \): \[ S_2 = (x_1^2 + 2x_1 + 1) + (x_2^2 + 2x_2 + 1) + \ldots + (x_{100}^2 + 2x_{100} + 1). \] \[ S_2 = (x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_{100}^2) + 2(x_1 + x_2 + \ldots + x_{100}) + 100. \] Theo đề bài, ta biết rằng tổng bình phương không thay đổi trong lần cộng đầu tiên, tức là \( S_1 = S_2 \). Điều này có nghĩa là: \[ S_1 = S_1 + 2(x_1 + x_2 + \ldots + x_{100}) + 100 \implies 2(x_1 + x_2 + \ldots + x_{100}) + 100 = 0. \] Từ đó, ta có: \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_{100} = -50. \] Bây giờ, tiến hành cộng thêm 1 một lần nữa cho mỗi số, các số trở thành \( x_1 + 2, x_2 + 2, \ldots, x_{100} + 2 \). Tổng bình phương lúc này là: \[ S_3 = (x_1 + 2)^2 + (x_2 + 2)^2 + \ldots + (x_{100} + 2)^2. \] Mở rộng \( S_3 \): \[ S_3 = (x_1^2 + 4x_1 + 4) + (x_2^2 + 4x_2 + 4) + \ldots + (x_{100}^2 + 4x_{100} + 4). \] \[ S_3 = (x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_{100}^2) + 4(x_1 + x_2 + \ldots + x_{100}) + 400. \] Từ ở trên ta có \( x_1 + x_2 + \ldots + x_{100} = -50 \), do đó: \[ S_3 = S_1 + 4(-50) + 400 = S_1 - 200 + 400 = S_1 + 200. \] Tóm lại, tổng bình phương của các số sau lần cộng thứ hai sẽ tăng thêm 200 so với tổng bình phương ban đầu.