a) Xét tứ giác ABHD có:

ˆBAD=ˆADH=ˆBHD=90 (gt)

⇒ABHD là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

Lại có AB=AD nên ABHD là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).

b) ABHD là hình vuông nên ˆABH=90

Xét ΔABM và ΔCMH có:

ˆABM=ˆCHM=90

BM=HM(gt)

AB=HC=12CD

⇒ΔABM=ΔCHM(g.c.g
⇒AM=CM (2 cạnh tương ứng).

Mà A, M, C thẳng hàng.

Vậy M là trung điểm của AC.

c) ΔABM=ΔCHM(cmt)

⇒ˆBAM=ˆHCM (2 góc tương ứng) (1)

Ta có: ˆBAM+ˆMAD=90; ˆADP+ˆMAD=90⇒BAM^=ADP^  (2)

Xét tam giác CDM có:

Đường cao MH đồng thời là trung tuyến nên ΔCDM cân tại M

⇒ˆHCM=ˆHDM (2 góc ở đáy) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆADP=ˆHDM⇒

Xét ΔADPvà ΔHDQ có:

ˆADP=ˆHDM(cmt);

AD=HD (do ABHD là hình vuông).

ˆDAP=ˆDHQ=45  (do ABHD là hình vuông).

⇒ΔADP=ΔHDQ(g.c.g)

Xét ΔABP và ΔHDQ có:

AB=HD (do ABHD là hình vuông)

AP=HQ (do ΔADP=ΔHDQ)

ˆBAP=ˆDHQ(so le trong do AB∥HD)

⇒ΔABP=ΔHDQ(c.g.c)

⇒BP=DQ

Chứng minh tương tự ΔADP=ΔHBQ⇒DP=BQΔ

⇒DPBQ là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau).

Mà DP=DQ (do ΔADP=ΔHDQ(cmt))

Vậy BPDQ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).