Bài 2. Cho hàm số: \(y =  - {1 \over 3}{x^3} + (a - 1){x^2} + (a + 3)x - 4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi \(a = 0\)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng \(y = 0, x = -1, x = 1\)
Trả lời:
a) Khi \(a = 0\) ta có hàm số: \(y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\)
- Tập xác định : \((-∞, +∞)\)
- Sự biến thiên: \(y’= -x^2 – 2x + 3\)
\(y’=0 ⇔ x = 1, x = -3\)
Trên các khoảng \((-∞, -3)\) và \((1, +∞), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng \((-3, 1), y’ > 0\)
_ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), \({y_{CD}} = {{ - 7} \over 3}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -3\), \({y_{CT}} =  - 13\)
_ giới hạn vô cực : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  - \infty, \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  + \infty \)
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại \(y = -4\)
Đồ thị cắt trục hoành tại \(x ≈ 5, 18\)
b) Hàm số \(y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4\) đồng biến trên khoảng \((-3, 1)\) nên:
\(y < y(1) = {{ - 7} \over 3} < 0\),  \(∀x ∈ (-1, 1)\)
Do đó, diện tích cần tính là:
\(\int_{ - 1}^1 {( - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4} )dx = {{26} \over 3}\)